Calcule a área do triângulo ABC, sendo A(-4,1,1), B(1,0,1) e C(0,3,2) e a altura relativa ao lado BC.

Para calcular a área do triângulo ABC, podemos usar a fórmula da área do triângulo em função dos vetores. Primeiro, vamos encontrar os vetores AB e AC: AB = B - A = (1, 0, 1) - (-4, 1, 1) = (5, -1, 0) AC = C - A = (0, 3, 2) - (-4, 1, 1) = (4, 2, 1) Agora, vamos calcular o produto vetorial entre AB e AC: AB x AC = (5, -1, 0) x (4, 2, 1) = (2, -5, 14) A área do triângulo ABC é igual à metade do módulo do produto vetorial: Área = 1/2 * |AB x AC| = 1/2 * |(2, -5, 14)| = 1/2 * √(2^2 + (-5)^2 + 14^2) = 1/2 * √(4 + 25 + 196) = 1/2 * √(225) = 1/2 * 15 = 7.5 Portanto, a área do triângulo ABC é igual a 7.5 unidades de área. Agora, para calcular a altura relativa ao lado BC, podemos usar a fórmula da área do triângulo: Área = base * altura / 2 Substituindo os valores conhecidos: 7.5 = BC * altura / 2 Como a base BC é a distância entre os pontos B e C, podemos calcular: BC = √((1 - 0)^2 + (0 - 3)^2 + (1 - 2)^2) = √(1 + 9 + 1) = √11 Substituindo na fórmula da área: 7.5 = √11 * altura / 2 Multiplicando ambos os lados por 2 e isolando a altura: 15 = √11 * altura altura = 15 / √11 Portanto, a altura relativa ao lado BC é igual a 15 / √11 unidades.