1.46 Seja S={1,2,3,4,5,6}. Determine se cada um dos conjuntos a seguir é uma partição de S : (a) P_(1)=[{1,2,3},{1,4,5,6}] (c) P_(3)=[{1,3,5},{2,4}...

Para determinar se cada um dos conjuntos é uma partição de S={1,2,3,4,5,6}, devemos verificar duas condições: 1. Cada subconjunto dentro da partição deve ser não vazio. 2. A união de todos os subconjuntos deve ser igual a S. Vamos analisar cada conjunto: (a) P₁ = [{1,2,3},{1,4,5,6}] - Os subconjuntos {1,2,3} e {1,4,5,6} são não vazios. - A união dos subconjuntos é {1,2,3,4,5,6}, que é igual a S. Portanto, P₁ é uma partição de S. (b) P₂ = [{1,2},{3,5,6}] - Os subconjuntos {1,2} e {3,5,6} são não vazios. - A união dos subconjuntos é {1,2,3,5,6}, que não é igual a S. Portanto, P₂ não é uma partição de S. (c) P₃ = [{1,3,5},{2,4},{6}] - Os subconjuntos {1,3,5}, {2,4} e {6} são não vazios. - A união dos subconjuntos é {1,2,3,4,5,6}, que é igual a S. Portanto, P₃ é uma partição de S. (d) P₄ = [{1,3,5},{2,4,6,7}] - Os subconjuntos {1,3,5} e {2,4,6,7} são não vazios. - A união dos subconjuntos é {1,2,3,4,5,6,7}, que não é igual a S. Portanto, P₄ não é uma partição de S. Resumindo: (a) P₁ é uma partição de S. (b) P₂ não é uma partição de S. (c) P₃ é uma partição de S. (d) P₄ não é uma partição de S.

• P1
• ​={{1,2,3},{1,4,5,6}}: Não é uma partição válida de S
• S devido à sobreposição do elemento 1 em ambos os subconjuntos.
• P2={{1,2},{3,5,6}}
• P2
• ​={{1,2},{3,5,6}}: Não é uma partição válida de S
• S porque a união dos subconjuntos não é igual a S
• S, e o elemento 4 está ausente.
• P3={{1,3,5},{2,4},{6}}
• P3
• ​={{1,3,5},{2,4},{6}}: É uma partição válida de S
• S porque cada elemento de S
• S pertence a exatamente um dos subconjuntos, e a união dos subconjuntos é igual a S
• S.
• P4={{1,3,5},{2,4,6,7}}
• P4
• ​={{1,3,5},{2,4,6,7}}: Não é uma partição válida de S
• S porque a união dos subconjuntos não é igual a S
• S, e o elemento 7 não pertence a S
• S.

Portanto, apenas P3

P3

​ é uma partição válida de S

S.

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