Prove que se uma função f : R → R é par (f(−x) = f(x)) e é derivável, então a derivada f ′(x) é uma função ı́mpar (f(−x) = −f(x)).

Para provar que se uma função f: R → R é par (f(-x) = f(x)) e é derivável, então a derivada f'(x) é uma função ímpar (f(-x) = -f(x)), podemos utilizar o conceito de derivada e a propriedade de paridade. Se f(x) é uma função par, então temos f(-x) = f(x) para todo x em R. Agora, vamos derivar ambos os lados dessa igualdade em relação a x. Derivando f(-x) em relação a x, utilizando a regra da cadeia, temos: (f(-x))' = (-1) * f'(-x) Derivando f(x) em relação a x, temos: f'(x) Agora, vamos comparar as duas derivadas: (-1) * f'(-x) = f'(x) Podemos multiplicar ambos os lados por -1: f'(-x) = -f'(x) Portanto, temos que a derivada f'(x) é uma função ímpar, pois f'(-x) = -f'(x).