Para determinar o valor de "a" para que o plano tangente à superfície S no ponto (0, -1, 3) contenha o ponto (1, -2, 1), podemos utilizar a equação do plano tangente. Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal à superfície S no ponto dado. Para isso, calculamos o gradiente da função que define a superfície S: ∇S = (2x - 6ayz, 2y - 6axz, 8z - 6axy) Avaliando o gradiente no ponto (0, -1, 3), temos: ∇S(0, -1, 3) = (0 - 6a(-1)(3), 2(-1) - 6a(0)(3), 8(3) - 6a(0)(-1)) = (18a, -2, 24) O vetor normal ao plano tangente é dado por esse vetor gradiente. Agora, podemos utilizar a equação do plano tangente: (x - x0, y - y0, z - z0) · (18a, -2, 24) = 0 Substituindo os valores do ponto (1, -2, 1), temos: (1 - 0, -2 - (-1), 1 - 3) · (18a, -2, 24) = 0 (1, -1, -2) · (18a, -2, 24) = 0 Multiplicando os componentes correspondentes e igualando a zero, temos: 18a - 2 + 48 = 0 18a + 46 = 0 18a = -46 a = -46/18 a ≈ -2.56 Portanto, o valor aproximado de "a" para que o plano tangente à superfície S no ponto (0, -1, 3) contenha o ponto (1, -2, 1) é -2.56.