3) Sistema Sol-Júpiter. Sabendo que a massa do Sol é aproximadamente 1 000 vezes a massa de Júpiter e que a distância Sol-Júpiter é, aproximadament...

a) Para calcular a distância entre o centro de massa do sistema Sol-Júpiter ao centro do Sol, podemos usar a fórmula do centro de massa: \(d = \frac{{m_1 \cdot r_1 + m_2 \cdot r_2}}{{m_1 + m_2}}\) Onde: \(m_1\) é a massa do Sol, \(r_1\) é a distância do centro do Sol ao centro de massa do sistema, \(m_2\) é a massa de Júpiter, \(r_2\) é a distância do centro de Júpiter ao centro de massa do sistema. Sabemos que a massa do Sol é aproximadamente 1000 vezes a massa de Júpiter, então \(m_1 = 1000 \cdot m_2\). Substituindo na fórmula do centro de massa, temos: \(d = \frac{{1000 \cdot m_2 \cdot r_1 + m_2 \cdot r_2}}{{1000 \cdot m_2 + m_2}}\) Simplificando, temos: \(d = \frac{{1000 \cdot r_1 + r_2}}{{1001}}\) b) Para determinar o valor do período de translação do sistema Sol-Júpiter em anos terrestres, podemos usar a terceira lei de Kepler: \(T^2 = \frac{{4 \pi^2}}{{G \cdot (m_1 + m_2)}} \cdot a^3\) Onde: \(T\) é o período de translação, \(G\) é a constante gravitacional, \(m_1\) é a massa do Sol, \(m_2\) é a massa de Júpiter, \(a\) é a distância média entre o Sol e Júpiter. Sabemos que a distância Sol-Júpiter é aproximadamente \(8 \times 10^{11}\) m. Podemos usar essa informação para calcular \(a\). Substituindo os valores na fórmula, podemos encontrar o valor do período em anos terrestres. c) Para calcular a distância do centro do Sol ao longo da linha que une os dois corpos, para a qual a força gravitacional de Júpiter se cancela com a força gravitacional exercida pelo Sol, podemos igualar as duas forças gravitacionais: \(F_{Júpiter} = F_{Sol}\) \(G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}} = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{d^2}}\) Onde: \(m_1\) é a massa do Sol, \(m_2\) é a massa de Júpiter, \(r\) é a distância do centro do Sol ao centro de Júpiter, \(d\) é a distância do centro do Sol ao longo da linha que une os dois corpos. Podemos simplificar a equação e encontrar o valor de \(d\).