Para determinar a posição relativa entre as duas circunferências dadas, precisamos primeiro reescrever as equações na forma padrão da circunferência, que é \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), onde \((h, k)\) é o centro e \(r\) é o raio. ### 1. Primeira circunferência: A equação é: \[ x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0 \] Reorganizando: \[ x^2 + 4x + y^2 - 6y = 3 \] Completar o quadrado para \(x\) e \(y\): - Para \(x\): \[ x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4 \] - Para \(y\): \[ y^2 - 6y = (y - 3)^2 - 9 \] Substituindo: \[ (x + 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 = 3 \] \[ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 - 13 = 3 \] \[ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 16 \] Portanto, a primeira circunferência tem centro \((-2, 3)\) e raio \(r_1 = 4\). ### 2. Segunda circunferência: A equação é: \[ x^2 + y^2 - 8x - 4y - 5 = 0 \] Reorganizando: \[ x^2 - 8x + y^2 - 4y = 5 \] Completar o quadrado para \(x\) e \(y\): - Para \(x\): \[ x^2 - 8x = (x - 4)^2 - 16 \] - Para \(y\): \[ y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4 \] Substituindo: \[ (x - 4)^2 - 16 + (y - 2)^2 - 4 = 5 \] \[ (x - 4)^2 + (y - 2)^2 - 20 = 5 \] \[ (x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 25 \] Portanto, a segunda circunferência tem centro \((4, 2)\) e raio \(r_2 = 5\). ### 3. Distância entre os centros: Agora, vamos calcular a distância entre os centros das circunferências: - Centro da primeira: \((-2, 3)\) - Centro da segunda: \((4, 2)\) A distância \(d\) entre os centros é dada por: \[ d = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (2 - 3)^2} \] \[ d = \sqrt{(4 + 2)^2 + (2 - 3)^2} \] \[ d = \sqrt{6^2 + (-1)^2} \] \[ d = \sqrt{36 + 1} \] \[ d = \sqrt{37} \] ### 4. Análise das posições relativas: Agora, comparamos a distância \(d\) com a soma e a diferença dos raios: - Soma dos raios: \(r_1 + r_2 = 4 + 5 = 9\) - Diferença dos raios: \(|r_1 - r_2| = |4 - 5| = 1\) ### Conclusão: - Se \(d < |r_1 - r_2|\), as circunferências são internas. - Se \(d = |r_1 - r_2|\), as circunferências são tangentes internas. - Se \(|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2\), as circunferências são secantes. - Se \(d = r_1 + r_2\), as circunferências são tangentes externas. - Se \(d > r_1 + r_2\), as circunferências são externas. Como \(\sqrt{37} \approx 6.08\) e \(1 < \sqrt{37} < 9\), concluímos que as circunferências são secantes.