Considere a série Sn = x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + … + nxn , em que |x| < 1. O limite de Sn, quando n tende a infinito, é igual a

Para encontrar o limite da série Sn quando n tende ao infinito, podemos usar a fórmula para a soma de uma série geométrica. A série Sn pode ser reescrita como Sn = x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + ... + nx^n. Vamos multiplicar a série por x para obter uma nova série: xSn = x^2 + 2x^3 + 3x^4 + 4x^5 + ... + nx^(n+1). Agora, vamos subtrair a série xSn da série Sn: Sn - xSn = (x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + ... + nx^n) - (x^2 + 2x^3 + 3x^4 + 4x^5 + ... + nx^(n+1)). Podemos observar que muitos termos se cancelam: Sn - xSn = x + (x^2 - 2x^2) + (2x^2 - 3x^3) + (3x^3 - 4x^4) + ... + (nx^n - (n+1)x^(n+1)). Simplificando ainda mais: Sn - xSn = x + x^2 + x^3 + x^4 + ... + x^n - (n+1)x^(n+1). Agora, vamos fatorar x da soma: Sn - xSn = x(1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^(n-1)) - (n+1)x^(n+1). A soma entre parênteses é uma soma finita de uma série geométrica, que pode ser calculada usando a fórmula: 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^(n-1) = (1 - x^n) / (1 - x). Substituindo na equação anterior: Sn - xSn = x((1 - x^n) / (1 - x)) - (n+1)x^(n+1). Agora, vamos simplificar ainda mais: Sn - xSn = (x - x^(n+1) + nx^(n+1) - (n+1)x^(n+1)) / (1 - x). Agora, vamos encontrar o limite quando n tende ao infinito: lim(n->∞) (Sn - xSn) = lim(n->∞) ((x - x^(n+1) + nx^(n+1) - (n+1)x^(n+1)) / (1 - x)). Podemos observar que os termos x^(n+1) e (n+1)x^(n+1) se tornam insignificantes quando n tende ao infinito. Portanto, podemos simplificar ainda mais: lim(n->∞) (Sn - xSn) = lim(n->∞) (x - x^(n+1)) / (1 - x). Agora, vamos analisar o limite do numerador e do denominador separadamente: lim(n->∞) x = x. lim(n->∞) x^(n+1) = 0 (pois |x| < 1). Portanto, o limite da série Sn quando n tende ao infinito é dado por: lim(n->∞) Sn = x / (1 - x). Espero que isso tenha ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.