Utilizando o Teorema de Green, o valor da integral de linha do campo F(x,y)=(y3,−x3) onde C é a região do círculo x2+y2=4 vale:

Para calcular a integral de linha do campo F(x, y) = (y^3, -x^3) ao longo da região do círculo x^2 + y^2 = 4, podemos utilizar o Teorema de Green. Primeiro, vamos parametrizar a curva C que representa o círculo. Podemos usar as coordenadas polares para isso, onde x = 2cos(t) e y = 2sen(t), com t variando de 0 a 2π. Agora, vamos calcular a derivada parcial de F em relação a y, que é ∂F/∂y = 3y^2. E a derivada parcial de F em relação a x, que é ∂F/∂x = -3x^2. Aplicando o Teorema de Green, a integral de linha de F ao longo de C é igual à integral dupla da região delimitada por C, considerando a derivada parcial de F em relação a x em relação a y, ou seja: ∬R (∂F/∂x - ∂F/∂y) dA Substituindo as derivadas parciais e as coordenadas polares, temos: ∬R (-3x^2 - 3y^2) dA Agora, vamos calcular a integral dupla utilizando as coordenadas polares: ∫[0,2π] ∫[0,2] (-3(2cos(t))^2 - 3(2sen(t))^2) * 2r dr dt Simplificando a expressão, temos: ∫[0,2π] ∫[0,2] (-12cos^2(t) - 12sen^2(t)) * 2r dr dt ∫[0,2π] ∫[0,2] (-24r(cos^2(t) + sen^2(t))) dr dt ∫[0,2π] ∫[0,2] (-24r) dr dt Agora, vamos calcular a integral interna em relação a r: ∫[0,2π] [-12r^2] de 0 a 2 dt ∫[0,2π] (-12(2)^2 - (-12(0)^2)) dt ∫[0,2π] (-48) dt (-48) * (2π - 0) -96π Portanto, o valor da integral de linha do campo F ao longo da região do círculo x^2 + y^2 = 4 é -96π.