Calcule o volume utilizado a integral onde a região que gera o volume é do primeiro octante limitado por x = 4 - y2, y = x, x = 0 e z =0 4 2 3 0 1

Para calcular o volume utilizando a integral, precisamos encontrar os limites de integração para cada variável. A região que gera o volume é limitada pelas seguintes curvas: - x = 4 - y^2 - y = x - x = 0 - z = 0 Vamos começar encontrando os limites de integração para x. A partir das curvas x = 4 - y^2 e y = x, podemos substituir x em y = x para obter y = 4 - y^2. Resolvendo essa equação quadrática, encontramos y = 2 e y = -1. Portanto, os limites de integração para x são de 0 a 4 - y^2. Agora, vamos encontrar os limites de integração para y. A partir das curvas y = x e x = 0, podemos substituir x em y = x para obter y = 0. Portanto, o limite de integração para y é de 0 a 2. Por fim, o limite de integração para z é de 0 a z = 0, o que significa que não há variação em z. Agora, podemos montar a integral para calcular o volume: V = ∫∫∫ dV Onde dV é o elemento de volume. V = ∫[0,2]∫[0,4-y^2]∫[0,0] dz dxdy Como o limite de integração para z é de 0 a 0, a integral em relação a z é igual a zero. V = ∫[0,2]∫[0,4-y^2] 0 dxdy A integral em relação a x é zero, pois não há variação em x. V = ∫[0,2] 0 dy A integral em relação a y também é zero, pois não há variação em y. Portanto, o volume utilizado é zero.