Considere o polinômio n mp(x) x x 1,= + + em que n m 1.  Se o resto da divisão de p(x) por x 1+ é igual a 3, então a) n é par e m é par....

Para resolver essa questão, vamos utilizar o Teorema do Resto, que nos diz que se dividirmos um polinômio p(x) por um binômio do tipo (x - a), o resto da divisão será igual a p(a). No caso da questão, temos o polinômio p(x) = nx^m + x + 1 e queremos encontrar o resto da divisão de p(x) por (x + 1). Sabemos que esse resto é igual a 3. Aplicando o Teorema do Resto, temos: p(-1) = n(-1)^m + (-1) + 1 = n(-1)^m - 1 + 1 = n(-1)^m Sabemos que o resultado dessa expressão é igual a 3. Portanto, temos: n(-1)^m = 3 Agora, vamos analisar as alternativas: a) n é par e m é par. Se n for par, então n = 2k, onde k é um número inteiro. Se m for par, então m = 2l, onde l é um número inteiro. Substituindo esses valores na equação n(-1)^m = 3, temos: 2k(-1)^(2l) = 3 2k = 3 Essa equação não tem solução, pois não é possível obter um número par igual a 3. Portanto, a alternativa a) está incorreta. b) n é ímpar e m é ímpar. Se n for ímpar, então n = 2k + 1, onde k é um número inteiro. Se m for ímpar, então m = 2l + 1, onde l é um número inteiro. Substituindo esses valores na equação n(-1)^m = 3, temos: (2k + 1)(-1)^(2l + 1) = 3 -2k - 1 = 3 -2k = 4 k = -2 Substituindo o valor de k na expressão n = 2k + 1, temos: n = 2(-2) + 1 n = -3 Portanto, a alternativa b) está incorreta. c) n é par e m é ímpar. Se n for par, então n = 2k, onde k é um número inteiro. Se m for ímpar, então m = 2l + 1, onde l é um número inteiro. Substituindo esses valores na equação n(-1)^m = 3, temos: 2k(-1)^(2l + 1) = 3 -2k = 3 Essa equação não tem solução, pois não é possível obter um número par igual a 3. Portanto, a alternativa c) está incorreta. d) n é ímpar e m é par. Se n for ímpar, então n = 2k + 1, onde k é um número inteiro. Se m for par, então m = 2l, onde l é um número inteiro. Substituindo esses valores na equação n(-1)^m = 3, temos: (2k + 1)(-1)^(2l) = 3 2k + 1 = 3 2k = 2 k = 1 Substituindo o valor de k na expressão n = 2k + 1, temos: n = 2(1) + 1 n = 3 Portanto, a alternativa d) está correta. Portanto, a resposta correta é a alternativa d) n é ímpar e m é par.