Lembre que uma função f : R → R é periódica com peŕıodo T > 0 se f(t+ T ) = f(t) para todo t ∈ R. Mais geralmente, f é periódica se existir ...

(a) Para mostrar que f1(t) = cos(t) + cos(√2t) não é periódica, precisamos encontrar dois valores de t, t1 e t2, tais que f1(t1) ≠ f1(t2). Vamos supor que f1(t) seja periódica e encontrar uma contradição. Suponha que f1(t) seja periódica com período T. Isso significa que f1(t + T) = f1(t) para todo t ∈ R. Vamos considerar t1 = 0 e t2 = T/4. Temos: f1(t1) = f1(0) = cos(0) + cos(√2 * 0) = 1 + 1 = 2 f1(t2) = f1(T/4) = cos(T/4) + cos(√2 * T/4) Agora, vamos usar a propriedade do cosseno da soma para simplificar a expressão: cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) cos(T/4 + √2 * T/4) = cos(T/4)cos(√2 * T/4) - sen(T/4)sen(√2 * T/4) Sabemos que cos(√2 * T/4) ≠ 1 e sen(√2 * T/4) ≠ 0, pois T > 0. Portanto, a expressão não se simplifica para f1(t2). Concluímos que f1(t1) ≠ f1(t2), o que contradiz a suposição de que f1(t) é periódica. Portanto, f1(t) não é periódica. (b) Para determinar se f2(t) = cos(t^2) é periódica, precisamos encontrar um valor de T tal que f2(t + T) = f2(t) para todo t ∈ R. Vamos supor que f2(t) seja periódica com período T. Isso significa que f2(t + T) = f2(t) para todo t ∈ R. Vamos considerar t1 = 0 e t2 = T/2. Temos: f2(t1) = f2(0) = cos(0^2) = cos(0) = 1 f2(t2) = f2(T/2) = cos((T/2)^2) = cos(T^2/4) Agora, vamos analisar a expressão cos(T^2/4). O cosseno é uma função periódica com período 2π. Portanto, cos(T^2/4) = cos((T^2/4) + 2πk), onde k é um número inteiro. Se cos(T^2/4) = cos((T^2/4) + 2πk) para todo k ∈ Z, então T^2/4 = (T^2/4) + 2πk para todo k ∈ Z. Isso implica que 0 = 2πk para todo k ∈ Z, o que não é verdade. Portanto, não existe um valor de T tal que f2(t + T) = f2(t) para todo t ∈ R. Concluímos que f2(t) não é periódica. (c) Não existe uma função polinomial não constante que seja periódica. Isso ocorre porque uma função polinomial não constante cresce ou decresce indefinidamente à medida que o valor de t aumenta ou diminui. Uma função periódica, por definição, repete-se em intervalos regulares. Portanto, não é possível que uma função polinomial não constante seja periódica.