Teorema 5. (Monotonicidade.) Se m < n, então m + p < n + p e mp < np. Demonstração: Usando a definição de <, temos que m < n ⇒ n = m + k ⇒ n + p = ...

A demonstração do Teorema 5 (Monotonicidade) é a seguinte: Usando a definição de <, temos que m < n. Isso significa que existe um número k tal que n = m + k. Agora, vamos adicionar p aos dois lados da equação: n + p = (m + k) + p. Simplificando, temos: n + p = m + (k + p). Como k + p é um número, podemos substituí-lo por um novo número, chamado de q. Portanto, temos: n + p = m + q. Agora, vamos analisar a expressão m + p. Como m < n, podemos substituir n por m + q na expressão m + p: m + p < (m + q) + p. Simplificando, temos: m + p < m + (q + p). Novamente, como q + p é um número, podemos substituí-lo por um novo número, chamado de r. Portanto, temos: m + p < m + r. Isso mostra que m + p é menor do que n + p, como queríamos demonstrar. Analogamente, podemos usar a mesma lógica para provar que mp < np. A partir da equação n = m + k, podemos multiplicar ambos os lados por p: np = (m + k)p. Simplificando, temos: np = mp + kp. Novamente, como kp é um número, podemos substituí-lo por um novo número, chamado de s. Portanto, temos: np = mp + s. Isso mostra que np é maior do que mp, como queríamos demonstrar. Assim, concluímos a demonstração do Teorema 5 (Monotonicidade).