26. O número 2568 possui dígitos em ordem crescente. Os números 5667 e 3769 não possuem dígitos em ordem crescente. Quantos são os números naturais entre 1000 e 9999 que possuem seus dígitos em ordem crescente?

(A) 126
(B) 144
(C) 186
(D) 210
(E) 252

Question

26. O número 2568 possui dígitos em ordem crescente. Os números 5667 e 3769 não possuem dígitos em ordem crescente. Quantos são os números naturais...

Ed · Answer

Para resolver a questão, precisamos entender que um número natural de 4 dígitos em ordem crescente não pode ter dígitos repetidos e deve ser formado por dígitos entre 1 e 9 (já que não podemos ter 0 como o primeiro dígito).

Os dígitos disponíveis são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Para formar um número de 4 dígitos em ordem crescente, precisamos escolher 4 dígitos diferentes entre esses 9. A ordem em que escolhemos os dígitos não importa, pois eles devem ser organizados em ordem crescente.

O número de maneiras de escolher 4 dígitos diferentes de um total de 9 é dado pela combinação:

$$
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
$$

onde $ n $ é o total de dígitos disponíveis (9) e $ k $ é o número de dígitos que queremos escolher (4).

Portanto, temos:

$$
C(9, 4) = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126
$$

Assim, a quantidade de números naturais entre 1000 e 9999 que possuem seus dígitos em ordem crescente é 126.

Portanto, a alternativa correta é (A) 126.

Ed · Answer

Para resolver esse problema, podemos utilizar o princípio da contagem.

Primeiro, vamos analisar a quantidade de opções para o primeiro dígito do número. Como queremos que o número esteja entre 1000 e 9999, o primeiro dígito pode variar de 1 a 9, ou seja, temos 9 opções.

Em seguida, vamos analisar a quantidade de opções para o segundo dígito. Como queremos que os dígitos estejam em ordem crescente, o segundo dígito só pode ser maior que o primeiro dígito. Se o primeiro dígito for 1, o segundo dígito pode variar de 2 a 9, ou seja, temos 8 opções. Se o primeiro dígito for 2, o segundo dígito pode variar de 3 a 9, ou seja, temos 7 opções. E assim por diante, até o primeiro dígito ser 9, onde teremos apenas 1 opção para o segundo dígito.

Seguindo esse raciocínio, podemos fazer o mesmo para o terceiro e quarto dígitos. Para o terceiro dígito, teremos 7 opções se o segundo dígito for 2, 6 opções se o segundo dígito for 3, e assim por diante. Para o quarto dígito, teremos 6 opções se o terceiro dígito for 3, 5 opções se o terceiro dígito for 4, e assim por diante.

Multiplicando todas essas opções, temos: 9 * 8 * 7 * 6 = 3024.

Portanto, existem 3024 números naturais entre 1000 e 9999 que possuem seus dígitos em ordem crescente.

A alternativa correta é (E) 252.

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31. Os gráficos das funções reais 2( ) = –f x x b e g x x
5

( ) = –
4

possuem um único ponto em comum. O valor de b é:

(A) 0
(B) 4
(C) –1
(D)
5

–
4
(E) 1

32. Quando Joãozinho tirou 9,8 em uma prova, sua média subiu 0,1. Na prova seguinte, ele tirou 7,0 e sua média caiu 0,2.
Quantas provas ele realizou, incluindo estas duas últimas?

(A) 10
(B) 5
(C) 6
(D) 8
(E) 9

33. Os números 5, 356 e 590 são termos de uma progressão aritmética de números inteiros positivos, de razão máxima. Assinale o termo seguinte ao termo 590:

(A) 599
(B) 603
(C) 717
(D) 707
(E) 612

34. Eduardo pensou em dois números naturais a e b. Sabe-se que apenas uma das cinco afirmacoes abaixo é verdadeira. Assinale-a.

(A) ab é um número par
(B) a + b = 5 e b – a = 7
(C) a + b = 4 e a = 3b
(D) |a – b| ≤ 2
(E) pelo menos um dos números a ou b é par

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31. Os gráficos das funções reais 2( ) = –f x x b e g x x5( ) = –4possuem um único ponto em comum. O valor de b é:(A) 0(B) 4(C) –1(D)5–4(E) 1

32. Quando Joãozinho tirou 9,8 em uma prova, sua média subiu 0,1. Na prova seguinte, ele tirou 7,0 e sua média caiu 0,2.Quantas provas ele realizou, incluindo estas duas últimas?(A) 10(B) 5(C) 6(D) 8(E) 9

33. Os números 5, 356 e 590 são termos de uma progressão aritmética de números inteiros positivos, de razão máxima. Assinale o termo seguinte ao termo 590:(A) 599(B) 603(C) 717(D) 707(E) 612

34. Eduardo pensou em dois números naturais a e b. Sabe-se que apenas uma das cinco afirmacoes abaixo é verdadeira. Assinale-a.(A) ab é um número par(B) a + b = 5 e b – a = 7(C) a + b = 4 e a = 3b(D) |a – b| ≤ 2(E) pelo menos um dos números a ou b é par

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(A) 0
(B) 4
(C) –1
(D)
5

–
4
(E) 1

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Quantas provas ele realizou, incluindo estas duas últimas?

(A) 10
(B) 5
(C) 6
(D) 8
(E) 9

33. Os números 5, 356 e 590 são termos de uma progressão aritmética de números inteiros positivos, de razão máxima. Assinale o termo seguinte ao termo 590:

(A) 599
(B) 603
(C) 717
(D) 707
(E) 612

34. Eduardo pensou em dois números naturais a e b. Sabe-se que apenas uma das cinco afirmacoes abaixo é verdadeira. Assinale-a.

(A) ab é um número par
(B) a + b = 5 e b – a = 7
(C) a + b = 4 e a = 3b
(D) |a – b| ≤ 2
(E) pelo menos um dos números a ou b é par