Para resolver a equação \( x^2 - 2|x| = k \), precisamos considerar os dois casos para \( |x| \): quando \( x \geq 0 \) e \( x < 0 \). 1. Caso 1: \( x \geq 0 \) - A equação se torna \( x^2 - 2x = k \). - Rearranjando, temos \( x^2 - 2x - k = 0 \). 2. Caso 2: \( x < 0 \) - A equação se torna \( x^2 + 2x = k \). - Rearranjando, temos \( x^2 + 2x - k = 0 \). Para que a equação tenha exatamente 4 soluções reais, precisamos que cada uma das equações quadráticas tenha 2 soluções reais. Isso ocorre quando o discriminante de cada equação é maior que zero. - Discriminante do Caso 1: \( \Delta_1 = (-2)^2 - 4(1)(-k) = 4 + 4k \) - Para ter 2 soluções reais: \( 4 + 4k > 0 \) → \( k > -1 \). - Discriminante do Caso 2: \( \Delta_2 = (2)^2 - 4(1)(-k) = 4 + 4k \) - Para ter 2 soluções reais: \( 4 + 4k > 0 \) → \( k > -1 \). Portanto, para que a equação tenha exatamente 4 soluções, precisamos que \( k > -1 \). Agora, analisando as alternativas: (A) \( k \in ]0, 1[ \) - Válido, pois \( k > -1 \). (B) \( k \in ]-1, 2, 3[ \) - Válido, pois \( k > -1 \). (C) \( k \in ]-1, +\infty[ \) - Válido, pois \( k > -1 \). (D) \( k \in ]-1, 0[ \) - Válido, pois \( k > -1 \). (E) \( k \in [0, 1] \) - Válido, pois \( k > -1 \). A alternativa que indica todos os valores de \( k \) para os quais a equação tem exatamente 4 soluções em \( \mathbb{R} \) é: (C) k ∈ ]−1,+∞[.