Seja o exercício: Provar, por indução, que n^2>3n, para n≥4. Não é possível desenvolver a desigualdade (k+1)^2>3(k+1), pois ela sempre será fals...

A afirmação "Não é possível desenvolver a desigualdade (k+1)^2>3(k+1), pois ela sempre será falsa" está incorreta. Na verdade, é possível desenvolver a desigualdade e provar que ela é verdadeira para n ≥ 4. A prova por indução é aplicável a qualquer tipo de afirmação matemática, não apenas a somatórias. Para provar a desigualdade n^2 > 3n, para n ≥ 4, podemos seguir os seguintes passos: 1. Base da indução: Para n = 4, temos 4^2 = 16 e 3*4 = 12. Como 16 > 12, a desigualdade é verdadeira para n = 4. 2. Hipótese da indução: Suponha que a desigualdade seja verdadeira para um certo valor k ≥ 4, ou seja, k^2 > 3k. 3. Passo da indução: Queremos provar que a desigualdade também é verdadeira para k + 1. Temos: (k + 1)^2 = k^2 + 2k + 1 3(k + 1) = 3k + 3 Pela hipótese da indução, sabemos que k^2 > 3k. Somando 2k em ambos os lados, obtemos k^2 + 2k > 3k + 2k = 5k. Portanto: (k + 1)^2 = k^2 + 2k + 1 > 5k + 1 Por outro lado, temos: 3(k + 1) = 3k + 3 < 3k + k^2 (para k ≥ 4) Assim, para k ≥ 4, temos: (k + 1)^2 > 5k + 1 > 3k + k^2 > 3(k + 1) Portanto, a desigualdade é verdadeira para k + 1. Concluímos que a desigualdade n^2 > 3n é verdadeira para todo n ≥ 4, por indução.