Uma professora utiliza brinquedos educativos para ajudar seus alunos a compreenderem as formas tridimensionais. O brinquedo é constituído de barras...

Para encontrar a quantidade de faces heptagonais do poliedro produzido pela aluna, podemos utilizar a Fórmula de Euler, que relaciona o número de vértices (V), arestas (A) e faces (F) de um poliedro convexo: V - A + F = 2. Sabemos que a aluna utilizou 24 barras e 14 esferas para construir o esqueleto do poliedro. Como cada aresta é compartilhada por duas faces, temos que o número de arestas é igual a A/2. Além disso, como cada vértice é compartilhado por um mínimo de três arestas, temos que o número de vértices é igual a V = A/3. Substituindo esses valores na fórmula de Euler, temos: V - A + F = 2 A/3 - A/2 + F = 2 2A/6 - 3A/6 + F = 2 -A/6 + F = 2 F = A/6 + 2 Precisamos agora encontrar o número de arestas do poliedro. Cada face heptagonal tem sete arestas, e cada face triangular tem três arestas. Seja x o número de faces heptagonais e y o número de faces triangulares. Temos então: 7x + 3y = A Substituindo A por 2F (pois cada aresta é compartilhada por duas faces), temos: 7x + 3y = 2F 7x + 3y = 2(A/6 + 2) 7x + 3y = A/3 + 4 Sabemos que a aluna utilizou 24 barras, ou seja, 12 arestas. Substituindo A por 12, temos: 7x + 3y = 12/3 + 4 7x + 3y = 8 Como o poliedro é convexo, cada face heptagonal compartilha uma aresta com uma face triangular. Isso significa que o número total de arestas é igual a 7x/2, já que cada face heptagonal contribui com sete arestas e cada face triangular contribui com três arestas. Substituindo esse valor na equação acima, temos: 7x/2 + 3y = 8 Multiplicando toda a equação por 2, temos: 7x + 6y = 16 Sabemos que x e y são números inteiros e que x + y é igual ao número total de faces do poliedro. Como o poliedro é formado apenas por faces heptagonais e triangulares, temos que x + y é igual ao número total de faces, que é igual a: x + y = 24 + 14 = 38 Podemos então resolver o sistema de equações: 7x + 6y = 16 x + y = 38 Multiplicando a segunda equação por 6 e subtraindo da primeira, temos: 7x + 6y - 6x - 6y = 16 - 6*38 x = -200 Isso significa que não existe um número inteiro de faces heptagonais que satisfaça as condições do problema. Portanto, a resposta correta é letra A) 3.