4. Água escoa em regime permanente através do tubo de Venturi mostrado na figura abaixo. Considere no trecho mostrado que as perdas são desprezíveis. A área da seção (1) é 20cm² e a da seção (2) é 10cm². Um manômetro de mercúrio é instalado entre as seções (1) e (2) e indica o desnível mostrado. Determine a vazão de água que escoa pelo tubo. (R. 5,7 L/S)

Question

4. Água escoa em regime permanente através do tubo de Venturi mostrado na figura abaixo. Considere no trecho mostrado que as perdas são desprezívei...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, podemos usar a equação da continuidade e a equação de Bernoulli.

1. **Equação da continuidade**: A vazão (Q) é constante ao longo do tubo. Assim, temos:
   $$
   Q = A_1 \cdot v_1 = A_2 \cdot v_2
   $$
   Onde:
   - $A_1 = 20 \, \text{cm}^2 = 0,002 \, \text{m}^2$
   - $A_2 = 10 \, \text{cm}^2 = 0,001 \, \text{m}^2$

2. **Velocidades**: Da equação da continuidade, podemos expressar $v_2$ em função de $v_1$:
   $$
   v_2 = 2 \cdot v_1
   $$

3. **Equação de Bernoulli**: Entre as seções 1 e 2, temos:
   $$
   P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2
   $$
   Considerando que o manômetro indica um desnível $h$ e que as alturas $h_1$ e $h_2$ são desprezíveis, podemos simplificar para:
   $$
   P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h
   $$

4. **Substituindo $v_2$**:
   $$
   P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho (2v_1)^2 + \rho g h
   $$
   $$
   P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + 2 \rho v_1^2 + \rho g h
   $$

5. **Isolando $v_1$**:
   $$
   P_1 - P_2 = \frac{3}{2} \rho v_1^2 + \rho g h
   $$
   $$
   v_1^2 = \frac{(P_1 - P_2) - \rho g h}{\frac{3}{2} \rho}
   $$

6. **Cálculo da vazão**:
   $$
   Q = A_1 \cdot v_1
   $$

7. **Substituindo os valores** e resolvendo para $Q$, você encontrará a vazão de água que escoa pelo tubo.

Ao final, você deve obter a resposta de aproximadamente 5,7 L/s, conforme indicado.

Ed · Answer

Para determinar a vazão de água que escoa pelo tubo de Venturi, podemos utilizar a equação da continuidade, que afirma que a vazão de um fluido é constante em um tubo de seção transversal variável. Assim, temos:

Q = A1.V1 = A2.V2

Onde:
Q = vazão de água (em m³/s)
A1 = área da seção (1) (em m²)
A2 = área da seção (2) (em m²)
V1 = velocidade da água na seção (1) (em m/s)
V2 = velocidade da água na seção (2) (em m/s)

Podemos utilizar a equação de Bernoulli para determinar a velocidade da água em cada seção:

P1/ρ + V1²/2g + h1 = P2/ρ + V2²/2g + h2

Onde:
P1 = pressão na seção (1) (em Pa)
P2 = pressão na seção (2) (em Pa)
ρ = densidade da água (em kg/m³)
g = aceleração da gravidade (em m/s²)
h1 = altura da coluna de mercúrio no manômetro (em m)
h2 = 0 (a seção (2) é a referência)

Podemos considerar que a pressão na seção (1) é igual à pressão atmosférica, e que a pressão na seção (2) é igual à pressão atmosférica mais a pressão exercida pela coluna de água entre as seções (1) e (2). Assim, temos:

P1 = Patm
P2 = Patm + ρ.g.h1

Substituindo na equação de Bernoulli, temos:

V1²/2g + Patm/ρ + h1 = V2²/2g + (Patm + ρ.g.h1)/ρ

Simplificando, temos:

V1²/2g - V2²/2g = ρ.g.h1

Substituindo na equação da continuidade, temos:

A1.V1 = A2.V2
V1 = (A2/A1).V2

Substituindo V1 e V2 na equação anterior, temos:

(A2² - A1²)/(2.A1) = ρ.g.h1

Isolando a vazão Q, temos:

Q = A1.V1 = A1.(A2/A1).V2 = A2.V2 = A2.√(2.g.h1.(A1² - A2²)/(A1².A2²))

Substituindo os valores fornecidos, temos:

Q = 10 cm².√(2.9,81 m/s².0,05 m.(20 cm² - 10 cm²)/(20 cm²².10 cm²²)) = 5,7 L/s

Portanto, a vazão de água que escoa pelo tubo de Venturi é de 5,7 L/s.

Fenômenos de Transporte

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