Determine o volume dos sólidos determinados pela rotação das regiões limitadas pelas curvas: Y=x+1, y=0, x=0 e x=2 ao redor do eixo

Para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y = x + 1, y = 0, x = 0 e x = 2 em torno do eixo x, podemos utilizar o método dos discos ou o método das cascas cilíndricas. Método dos discos: - Escolha um elemento de área vertical dx em x; - O raio do disco é dado por y = x + 1; - O volume do disco é dado por dV = π(y²)dx; - Integrando de x = 0 a x = 2, temos: V = ∫(0 até 2) π(x+1)² dx V = π∫(0 até 2) (x² + 2x + 1) dx V = π[x³/3 + x² + x] de 0 até 2 V = π[(8/3) + 4 + 2] - π[0] V = (14π/3) unidades cúbicas. Método das cascas cilíndricas: - Escolha um elemento de altura vertical dx em x; - O raio externo da casca é dado por R = x + 1; - O raio interno da casca é dado por r = 0; - A área da casca é dada por dA = 2πRdx; - Integrando de x = 0 a x = 2, temos: V = ∫(0 até 2) 2π(x+1)dx V = 2π∫(0 até 2) (x+1)dx V = 2π[x²/2 + x] de 0 até 2 V = 2π[(2²/2 + 2) - (0²/2 + 0)] V = (14π/3) unidades cúbicas. Portanto, o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y = x + 1, y = 0, x = 0 e x = 2 em torno do eixo x é (14π/3) unidades cúbicas.