Exercício 2.13: Um óleo escoa entre duas placas horizontais, conforme esquema da figura, em que a placa inferior está em movimento com velocidade V...

Para resolver esse exercício, é necessário aplicar as equações de Navier-Stokes para fluidos newtonianos. As equações de Navier-Stokes são um conjunto de equações diferenciais parciais que descrevem o movimento de fluidos. Para o caso de um fluido newtoniano, as equações de Navier-Stokes podem ser escritas como: ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0 ρ(∂u/∂t + u∂u/∂x + v∂u/∂y) = -∂p/∂x + μ(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²) ρ(∂v/∂t + u∂v/∂x + v∂v/∂y) = -∂p/∂y + μ(∂²v/∂x² + ∂²v/∂y²) Onde: - u e v são as componentes da velocidade do fluido nas direções x e y, respectivamente; - p é a pressão do fluido; - ρ é a densidade do fluido; - μ é a viscosidade dinâmica do fluido. Para o caso em questão, temos que a placa inferior está em movimento com velocidade Vo para a direita e a placa superior está fixa. Portanto, a velocidade do fluido na direção x é dada por: u = (Vo/h)y Onde h é a distância entre as placas e y é a distância a partir da placa inferior. Como a velocidade do fluido não depende da posição x, temos que ∂u/∂x = 0. Portanto, a equação de continuidade (∂u/∂x + ∂v/∂y = 0) fica: ∂v/∂y = -Vo/h Integrando essa equação em relação a y, temos: v = -Vo/h y + C Onde C é uma constante de integração. Como a velocidade do fluido é zero na placa superior, temos que C = Vo/h. Portanto, a velocidade do fluido na direção y é dada por: v = Vo(1 - y/h) Agora, podemos calcular o perfil de tensão do fluido. A tensão de cisalhamento τ é dada por: τ = μ(∂u/∂y) Substituindo u pela equação encontrada anteriormente, temos: τ = μVo/h Portanto, a tensão de cisalhamento é constante e independe da posição y. Por fim, podemos fazer o desenho dos perfis de velocidade e tensão entre as placas. O perfil de velocidade é uma reta com inclinação negativa, que começa em Vo na placa inferior e chega a zero na placa superior. O perfil de tensão é uma reta horizontal, com valor constante igual a μVo/h.