Exercício 2.28: Um tanque industrial cilíndrico com 2,0 m de diâmetro, preenchido com óleo viscoso até um nível situado a uma altura de 50 cm da su...

Para resolver o exercício 2.28, é necessário utilizar o balanço de quantidade de movimento. A equação de perfil de velocidade pode ser obtida a partir da equação de Navier-Stokes, que é uma equação diferencial parcial que descreve o movimento de fluidos. No entanto, para simplificar o problema, pode-se utilizar a equação de Bernoulli, que relaciona a pressão, a velocidade e a altura de um fluido em movimento. Assim, a partir do balanço de quantidade de movimento, pode-se obter a equação de perfil de velocidade da seguinte forma: - Aplicando o princípio de conservação da massa, temos que a vazão de óleo que sai do tanque é igual à vazão de óleo que entra no tubo de drenagem: Q = A1 * v1 = A2 * v2 Onde Q é a vazão de óleo, A1 é a área da seção transversal do tanque, v1 é a velocidade do óleo no tanque, A2 é a área da seção transversal do tubo de drenagem e v2 é a velocidade do óleo no tubo de drenagem. - Aplicando o princípio de conservação da quantidade de movimento, temos que a força resultante que age sobre o óleo no tubo de drenagem é igual à variação da quantidade de movimento do óleo: F = m * a = m * dv/dt Onde F é a força resultante, m é a massa do óleo, a é a aceleração do óleo e dv/dt é a variação da velocidade do óleo em relação ao tempo. - Considerando que a força resultante é devida à diferença de pressão entre as extremidades do tubo de drenagem, temos que: F = (P1 - P2) * A2 Onde P1 é a pressão na base do tanque, P2 é a pressão na extremidade do tubo de drenagem e A2 é a área da seção transversal do tubo de drenagem. - Substituindo as equações acima, temos que: (P1 - P2) * A2 = m * dv/dt (P1 - P2) * pi * R^2 = rho * pi * r^2 * L * dv/dt Onde pi é o número pi, R é o raio do tubo de drenagem, rho é a densidade do óleo, r é a coordenada raio, L é o comprimento do tubo de drenagem e dv/dt é a variação da velocidade do óleo em relação ao tempo. - Integrando a equação acima, temos que: v = Vmáx * (1 - (r/R)^2) Onde Vmáx é a velocidade máxima do óleo e v é a velocidade do óleo no tubo de drenagem. Portanto, a equação de perfil de velocidade do óleo no tubo de drenagem é dada por: v = Vmáx * (1 - (r/R)^2)