Dada a integral ∫ ∫∫ ∫−+21x2010y020x0dydxxydydxxy , a) esboce a região de integração b) inverta a ordem de integração c) calcule a integral. a) esb...

a) Para esboçar a região de integração, é necessário analisar as desigualdades que definem a região. A partir da integral dada, temos: ∫∫∫∫R(2-x^2-y^2) dV, onde R é a região definida por: 0 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ √(4-x^2) 0 ≤ z ≤ x^2 + y^2 A região R é um sólido limitado pelo paraboloide z = x^2 + y^2 e pelo plano xy. A base do sólido é o disco de raio 2, centrado na origem. b) Para inverter a ordem de integração, é necessário reescrever a integral em termos de outras variáveis. A integral dada é uma integral tripla em coordenadas cartesianas. Podemos reescrevê-la em coordenadas cilíndricas, utilizando as relações: x = r cosθ y = r senθ z = z O Jacobiano da transformação é r. As desigualdades que definem a região R em coordenadas cilíndricas são: 0 ≤ r ≤ 2 0 ≤ θ ≤ 2π r^2 ≤ z ≤ 4 - r^2 Assim, a integral pode ser escrita como: ∫∫∫R(2-x^2-y^2) dV = ∫0^2 ∫0^2π ∫r^2^(4-r^2) (2-r^2) r dz dr dθ c) Para calcular a integral, basta integrar a expressão obtida no item b) em relação a z, depois em relação a r e, por fim, em relação a θ: ∫∫∫R(2-x^2-y^2) dV = ∫0^2 ∫0^2π ∫r^2^(4-r^2) (2-r^2) r dz dr dθ = ∫0^2 ∫0^2π [(2-r^2)(4-r^2) - r^4] / 2 dr dθ = ∫0^2π ∫0^2 [8r - 6r^3 + r^5 / 2] dr dθ = ∫0^2π [16 - 24 + 8/3] dθ = -8π/3 Portanto, a integral vale -8π/3.