Considere a expressão (2x3 − 1/x)6. (a) Determine a soma dos coeficientes do desenvolvimento binomial de (2x3 − 1/x)6. (b) Determine o coeficiente...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o Teorema do Binômio de Newton. (a) A soma dos coeficientes do desenvolvimento binomial de (2x³ - 1/x)⁶ é dada pela fórmula (a + b)ⁿ, onde a = 2x³ e b = -1/x. Substituindo na fórmula, temos: (2x³ - 1/x)⁶ = (a + b)⁶ = 6C₀a⁶b⁰ + 6C₁a⁵b¹ + 6C₂a⁴b² + 6C₃a³b³ + 6C₄a²b⁴ + 6C₅a¹b⁵ + 6C₆a⁰b⁶ Onde nCk representa o coeficiente binomial, dado por n!/(k!(n-k)!). Calculando cada um dos termos, temos: 6C₀a⁶b⁰ = 1 6C₁a⁵b¹ = 60x⁸ 6C₂a⁴b² = 540x¹⁵ 6C₃a³b³ = 2160x²² 6C₄a²b⁴ = 5400x²⁹ 6C₅a¹b⁵ = 9450x³⁶ 6C₆a⁰b⁶ = 7776x⁴³ Somando todos os termos, temos: 1 + 60x⁸ + 540x¹⁵ + 2160x²² + 5400x²⁹ + 9450x³⁶ + 7776x⁴³ = 15625 Portanto, a soma dos coeficientes do desenvolvimento binomial de (2x³ - 1/x)⁶ é 15625. (b) Para determinar o coeficiente de x¹⁰ no desenvolvimento binomial de (2x³ - 1/x)⁶, podemos utilizar a fórmula geral do termo do binômio: T(k+1) = nCk * a^(n-k) * b^k Onde k é o índice do termo desejado. Substituindo os valores, temos: T(11) = 6C₉ * (2x³)⁶ * (-1/x)³ = -7200x¹⁰ Portanto, o coeficiente de x¹⁰ no desenvolvimento binomial de (2x³ - 1/x)⁶ é -7200.