O departamento de estrada de rodagem pretende construir uma área de piquenique para motorista á beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve se...

(a) O menor comprimento da cerca necessária para a obra é a soma dos comprimentos dos três lados que não dão para a rodovia. Como a área deve ser retangular, dois lados terão o mesmo comprimento e os outros dois lados terão o mesmo comprimento. Portanto, o menor comprimento da cerca será a soma de dois lados iguais e um lado diferente. Para encontrar o menor comprimento da cerca, podemos utilizar a fórmula da área do retângulo: A = comprimento x largura. Sabemos que a área é de 5.000 metros quadrados, então podemos escrever: 5.000 = comprimento x largura Podemos resolver essa equação para encontrar o valor de largura em função do comprimento: largura = 5.000 / comprimento Substituindo esse valor na fórmula do perímetro do retângulo, temos: perímetro = 2 x comprimento + 2 x largura perímetro = 2 x comprimento + 2 x (5.000 / comprimento) Para encontrar o menor comprimento da cerca, precisamos derivar essa equação em relação a comprimento e igualar a zero: d(perímetro)/d(comprimento) = 2 - 10.000 / comprimento^2 = 0 Resolvendo essa equação, encontramos: comprimento = sqrt(10.000) = 100 metros Substituindo esse valor na equação da largura, temos: largura = 5.000 / 100 = 50 metros Portanto, o menor comprimento da cerca necessária para a obra é de 2 x 100 + 50 = 250 metros. (b) Para que o comprimento da cerca seja o menor possível, precisamos encontrar as dimensões do retângulo que minimizam o perímetro. Como vimos na letra (a), a área do retângulo é de 5.000 metros quadrados, então podemos escrever: largura = 5.000 / comprimento Substituindo esse valor na fórmula do perímetro, temos: perímetro = 2 x comprimento + 2 x (5.000 / comprimento) perímetro = 2 comprimento + 10.000 / comprimento Para encontrar o valor mínimo do perímetro, podemos derivar essa equação em relação a comprimento e igualar a zero: d(perímetro)/d(comprimento) = 2 - 10.000 / comprimento^2 = 0 Resolvendo essa equação, encontramos: comprimento = sqrt(10.000) = 100 metros Substituindo esse valor na equação da largura, temos: largura = 5.000 / 100 = 50 metros Portanto, as dimensões da área de piquenique devem ser de 100 metros de comprimento por 50 metros de largura, para que o comprimento da cerca seja o menor possível.