Sabe-se que a soma dos elementos de uma coluna do triângulo de Pascal pode ser calculada pela fórmula C p p+C p+1 p +C p+2 p +. . .+Cn p=Cn+1 p+1, ...

Sabe-se que a soma dos elementos de uma coluna do triângulo de Pascal pode ser calculada pela fórmula C p p+C p+1 p +C p+2 p +. . .+Cn p=Cn+1 p+1, na qual n e p são números naturais, n ≥ p e Cn p corresponde ao número de combinações simples de n elementos tomados p a p. Com base nessas informações, calcule:
a) a soma C2 2+C 3 2+C4 2+.. .+C18 2 ;
b) o número total de laranjas que compõem quinze camadas.

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02.11.2023

a) Para calcular a soma C2 2+C3 2+C4 2+...+C18 2, podemos utilizar a fórmula dada: C2 2+C3 2+C4 2+...+C18 2 = C19 3. Portanto, a soma é igual a C19 3, que pode ser calculado utilizando a fórmula Cn p = n! / (p! * (n-p)!). Assim, temos: C19 3 = 19! / (3! * 16!) = (19 * 18 * 17) / (3 * 2 * 1) = 969. Portanto, a soma C2 2+C3 2+C4 2+...+C18 2 é igual a 969. b) O número total de laranjas que compõem quinze camadas é igual à soma dos elementos da 15ª linha do triângulo de Pascal. Sabemos que a soma dos elementos de uma linha do triângulo de Pascal é igual a 2 elevado à potência do número de elementos menos um. Assim, a soma dos elementos da 15ª linha é igual a 2^14, que é igual a 16.384. Portanto, o número total de laranjas que compõem quinze camadas é igual a 16.384.