Questão 20 - (Fuvest) Considere um triângulo ABC tal que a altura BH seja interna ao triângulo e os ângulos BAH e HBC sejam congruentes. a) Determi...

a) Para determinar a medida do ângulo ABC, podemos utilizar a relação entre ângulos internos de um triângulo. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus. Como a altura BH é interna ao triângulo, podemos utilizar a congruência dos ângulos BAH e HBC para concluir que os ângulos ABH e CBH também são congruentes. Assim, temos que: ABH + CBH + ABC = 180 Como ABH e CBH são congruentes, podemos substituir por x: 2x + ABC = 180 ABC = 180 - 2x Para encontrar o valor de x, podemos utilizar a relação entre as áreas dos triângulos ABH e BCH, que é igual a 2. Sabemos que a área de um triângulo é dada por: Área = (base x altura) / 2 Assim, temos que: Área de ABH / Área de BCH = 2 (AB x BH) / (BC x BH) = 2 AB / BC = 2 Como AB = 4cm, temos que: 4 / BC = 2 BC = 2cm Agora podemos utilizar o teorema de Pitágoras para encontrar o valor de BH: BH² = AB² - AH² BH² = 4² - (BC - CH)² BH² = 16 - (2x)² Como BH é a altura do triângulo, podemos utilizar a área de ABH para encontrar o valor de BH: Área de ABH = (AB x BH) / 2 2 = (4 x BH) / 2 BH = 1cm Substituindo os valores encontrados na equação ABC = 180 - 2x, temos que: ABC = 180 - 2(28,96) ABC = 122,08 graus Portanto, a medida do ângulo ABC é de aproximadamente 122,08 graus. b) Para calcular a medida de AC, podemos utilizar a relação entre as áreas dos triângulos ABH e BCH, que é igual a 2. Sabemos que a área de um triângulo é dada por: Área = (base x altura) / 2 Assim, temos que: Área de ABH / Área de BCH = 2 (AB x BH) / (BC x BH) = 2 AB / BC = 2 Como AB = 4cm, temos que: 4 / BC = 2 BC = 2cm Agora podemos utilizar o teorema de Pitágoras para encontrar o valor de AC: AC² = AB² + BC² AC² = 4² + 2² AC² = 20 AC = √20 AC = 2√5 cm Portanto, a medida de AC é de aproximadamente 4,47 cm.