Marque a alterantiva que representa a integral ∭ S ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 d x d y d z ∭�(�2+�2+�2)3������  em coordenadas esféricas na qual S é um s...

Para resolver essa integral em coordenadas esféricas, é necessário fazer a mudança de variáveis. Primeiro, é preciso encontrar os limites de integração em coordenadas esféricas. Como o sólido está contido em uma semiesfera de raio 9, temos que: 0 ≤ ρ ≤ 9 0 ≤ θ ≤ π 0 ≤ φ ≤ π/2 Agora, é preciso encontrar a expressão para o elemento de volume em coordenadas esféricas: dV = ρ²senφdρdθdφ Substituindo na integral, temos: ∭S (x² + y² + z²)³ dxdydz = ∭S ρ⁸sen³φ dρdθdφ Agora, basta substituir os limites de integração e resolver a integral: ∫₀^(π/2) ∫₀^π ∫₀⁹ ρ⁸sen³φ dρdθdφ = (2/9)π(2/5)(9⁹) Portanto, a alternativa correta é a letra C.