Questão Teórica 1: Prove que no método da bissecção o número mínimo de iterações para achar uma raiz no intervalo [????, ????] com erro absoluto ???? é: ...

O método da bissecção é um método numérico utilizado para encontrar raízes de funções. Ele consiste em dividir o intervalo [a, b] ao meio e verificar em qual dos subintervalos a função muda de sinal. Em seguida, o processo é repetido no subintervalo onde a função muda de sinal até que se encontre uma raiz com a precisão desejada. Para provar que o número mínimo de iterações para encontrar uma raiz no intervalo [a, b] com erro absoluto ε é dado por ???? = log2 ((b-a)/ε), podemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário. Suponha que f(x) é uma função contínua no intervalo [a, b] e que f(a) e f(b) têm sinais opostos. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um ponto c no intervalo (a, b) tal que f(c) = 0. A cada iteração do método da bissecção, o intervalo [a, b] é dividido ao meio e um dos subintervalos é escolhido para continuar a busca pela raiz. Seja xn o ponto médio do n-ésimo subintervalo [an, bn]. Então, o erro absoluto na n-ésima iteração é dado por: |xn - c| <= (bn - an)/2^n Queremos encontrar o número mínimo de iterações n necessário para que o erro absoluto seja menor ou igual a ε. Assim, temos: (bn - an)/2^n <= ε bn - an <= 2^n * ε n >= log2 ((bn - an)/ε) Substituindo bn - an por b - a, temos: n >= log2 ((b - a)/ε) Portanto, o número mínimo de iterações para encontrar uma raiz no intervalo [a, b] com erro absoluto ε é dado por ???? = log2 ((b-a)/ε).