Sejam X,Y ⊂ R conjuntos não-vazios e limitados superiormente. Prove que sup(X ∪ Y ) = max{sup(X), sup(Y )}.

Para provar que sup(X ∪ Y ) = max{sup(X), sup(Y )}, precisamos mostrar que: 1. sup(X ∪ Y ) é um limitante superior de X e Y. 2. sup(X ∪ Y ) é o menor limitante superior de X e Y. 1. Para mostrar que sup(X ∪ Y ) é um limitante superior de X e Y, precisamos mostrar que todo elemento de X e Y é menor ou igual a sup(X ∪ Y ). Como X e Y são limitados superiormente, sabemos que existe um número real M tal que x ≤ M e y ≤ M para todo x ∈ X e y ∈ Y. Como X ∪ Y é a união de X e Y, todo elemento de X ∪ Y é um elemento de X ou Y. Portanto, todo elemento de X ∪ Y é menor ou igual a M. Como M é um limitante superior de X ∪ Y, temos que sup(X ∪ Y ) é um limitante superior de X e Y. 2. Agora, precisamos mostrar que sup(X ∪ Y ) é o menor limitante superior de X e Y. Para isso, precisamos mostrar que se L é um limitante superior de X e Y, então L ≥ sup(X ∪ Y ). Como L é um limitante superior de X e Y, temos que x ≤ L e y ≤ L para todo x ∈ X e y ∈ Y. Portanto, L é um limitante superior de X ∪ Y. Como sup(X ∪ Y ) é o menor limitante superior de X ∪ Y, temos que sup(X ∪ Y ) ≤ L. Portanto, sup(X ∪ Y ) é o menor limitante superior de X e Y. Assim, concluímos que sup(X ∪ Y ) = max{sup(X), sup(Y )}.