2.13) Demonstrar as seguintes relações: a) )1.( wSt   b) hS/Sar = /( + ar)

a) Para demonstrar a relação 1.( wSt  ), precisamos utilizar a equação de Bernoulli, que relaciona a pressão, a velocidade e a altura de um fluido em um tubo. A equação é dada por: P + 1/2 * ρ * v^2 + ρ * g * h = constante Onde: P = pressão do fluido ρ = densidade do fluido v = velocidade do fluido g = aceleração da gravidade h = altura do fluido em relação a um ponto de referência Considerando que a constante é a mesma em dois pontos diferentes do tubo, podemos escrever a equação para os pontos 1 e 2: P1 + 1/2 * ρ * v1^2 + ρ * g * h1 = P2 + 1/2 * ρ * v2^2 + ρ * g * h2 Como o fluido é o mesmo em ambos os pontos, podemos cancelar a densidade: P1 + 1/2 * v1^2 + g * h1 = P2 + 1/2 * v2^2 + g * h2 Subtraindo a equação para o ponto 2 da equação para o ponto 1, temos: P1 - P2 + 1/2 * (v1^2 - v2^2) + g * (h1 - h2) = 0 Como a diferença de pressão é igual ao peso específico multiplicado pela diferença de altura, temos: (ρ * g * h1 - ρ * g * h2) + 1/2 * (v1^2 - v2^2) = 0 Simplificando: ρ * g * (h1 - h2) + 1/2 * (v1^2 - v2^2) = 0 Multiplicando por 2/ρ * v1^2, temos: 2/ρ * v1^2 * ρ * g * (h1 - h2) + 1 = 2/ρ * v1^2 * 1/2 * (v1^2 - v2^2) Simplificando: 2 * g * (h1 - h2) / v1^2 + 1 = v1^2 / v2^2 Substituindo wSt = v1 / (g * D) e γ = ρ / ρ0, temos: 2 * γ * (h1 - h2) / wSt^2 + 1 = wSt^2 / wSt2^2 Multiplicando por wSt2^2, temos: 2 * γ * (h1 - h2) * wSt2^2 + wSt2^2 = wSt^4 Isolando wSt^2, temos: wSt^2 = (wSt2^2 + sqrt(wSt2^4 + 8 * γ * (h1 - h2) * wSt2^2)) / 4 * γ * (h1 - h2) Substituindo γ = ρ / ρ0 e wSt = v1 / (g * D), temos: v1 = (g * D) * (wSt2^2 + sqrt(wSt2^4 + 8 * (ρ / ρ0) * (h1 - h2) * wSt2^2)) / 4 * (ρ / ρ0) * (h1 - h2) Simplificando: v1 = sqrt(2 * g * D * (ρ / ρ0) * (h1 - h2) * (wSt2^2 + sqrt(wSt2^4 + 8 * (ρ / ρ0) * (h1 - h2) * wSt2^2)))) / (h1 - h2) Portanto, a relação 1.( wSt  ) é dada por: v1 = sqrt(2 * g * D * (ρ / ρ0) * (h1 - h2) * (wSt2^2 + sqrt(wSt2^4 + 8 * (ρ / ρ0) * (h1 - h2) * wSt2^2)))) / (h1 - h2) b) Para demonstrar a relação hS/Sar = /( + ar), precisamos utilizar a equação de Bernoulli novamente. Suponha que temos um fluido que flui em um tubo com uma seção transversal variável. A equação de Bernoulli nos diz que a pressão, a velocidade e a altura do fluido são relacionadas da seguinte forma: P + 1/2 * ρ * v^2 + ρ * g * h = constante Se assumirmos que a densidade do fluido é constante, podemos escrever a equação como: P + 1/2 * v^2 + g * h = constante Agora, suponha que a seção transversal do tubo varie de uma área A1 para uma área A2. A velocidade do fluido deve mudar para que a vazão seja a mesma em todas as seções transversais. A vazão é dada por: Q = v * A Onde Q é a vazão, v é a velocidade e A é a área da seção transversal. Como a vazão é constante, temos: v1 * A1 = v2 * A2 Ou seja: v2 = v1 * A1 / A2 Substituindo na equação de Bernoulli, temos: P1 + 1/2 * ρ * v1^2 + ρ * g * h1 = P2 + 1/2 * ρ * (v1 * A1 / A2)^2 + ρ * g * h2 Simplificando: P1 - P2 + 1/2 * ρ * v1^2 * (1 - A1^2 / A2^2) + ρ * g * (h1 - h2) = 0 Como a diferença de pressão é igual ao peso específico multiplicado pela diferença de altura, temos: (ρ * g * h1 - ρ * g * h2) + 1/2 * ρ * v1^2 * (1 - A1^2 / A2^2) = 0 Simplificando: ρ * g * (h1 - h2) + 1/2 * ρ * v1^2 * (1 - A1^2 / A2^2) = 0 Dividindo por ρ * g, temos: h1 - h2 + 1/2 * v1^2 / (g * A2^2 / 2 * g * A1^2) * (A1^2 - A2^2) = 0 Simplificando: h1 - h2 + v1^2 / (2 * g) * (A1^2 / A2^2 - 1) = 0 Multiplicando por A2^2 / (ρ * v1^2), temos: (A2^2 / ρ * v1^2) * (h1 - h2) + A2^2 / (2 * ρ * g) * (1 - A1^2 / A2^2) = 0 Substituindo δ = A2^2 / ρ * v1^2 e γar = A2^2 / (2 * ρ * g), temos: δ * (h1 - h2) + γar * (1 - A1^2 / A2^2) = 0 Isolando h1 / A2^2, temos: h1 / A2^2 = γar / δ + (γar / δ) * A1^2 / A2^2 Substituindo γ = ρ / ρ0, temos: h1 / A2^2 = (A2^2 / (2 * ρ0 * g)) / (A2^2 / ρ0 * v1^2) + (A2^2 / (2 * ρ0 * g)) * A1^2 / A2^2 Simplificando: h1 / A2^2 = v1^2 / (2 * g * ρ0) + A1^2 / (2 * A2^2) Multiplicando por A2^2 / Sar, temos: hS/Sar = v1^2 / (2 * g * ρ0 * Sar) + A1^2 / (2 * A2^2 * Sar) Substituindo δ = A2^2 / ρ * v1^2 e γar = A2^2 / (2 * ρ * g), temos: hS/Sar = δ / (2 * γ * Sar) + (γar / γ) * (1 - δ) / Sar Simplificando: hS/Sar = δ / (2 * γ * Sar) + (γar / γ) / Sar - δ * γar / (γ * Sar) Substituindo γ = ρ / ρ0 e γar = A2^2 / (2 * ρ * g), temos: hS/Sar = δ / (2 * ρ0 * Sar) + (A2^2 / (4 * g * ρ0 * Sar)) / Sar - δ * A2^2 / (2 * ρ0 * v1^2 * Sar) Simplificando: hS/Sar = δ / (2 * ρ0 * Sar) + A2^2 / (4 * g * ρ0 * Sar^2) - δ / (2 * ρ0 * Sar) Portanto, a relação hS/Sar = /( + ar) é dada por: hS/Sar = δ / (2 * ρ0 * Sar) + A2^2 / (4 * g * ρ0 * Sar^2) - δ / (2 * ρ0 * Sar)