Questão 2 – Em um triângulo equilátero ABC inscreve-se um quadrado MNOP de área 3 m². Sabe-se o lado MN está contido em AC, o ponto P pertence a AB...

Para resolver essa questão, podemos utilizar a seguinte estratégia: 1. Sabemos que o quadrado MNOP está inscrito no triângulo equilátero ABC, portanto, o lado do quadrado é igual ao lado do triângulo. 2. Como o lado MN está contido em AC, podemos dizer que a altura do triângulo em relação à base AC é igual a MN. 3. Como o triângulo é equilátero, a altura divide a base em dois segmentos iguais, portanto, MC = AC/2. 4. Como o ponto O pertence a BC, podemos dizer que BO = CO = BC/2. 5. Podemos calcular a área do triângulo ABC como sendo a área do triângulo AMN mais a área do triângulo BOP mais a área do triângulo COQ. 6. A área do triângulo AMN é igual a (MN x AC)/2 = (lado do quadrado x lado do triângulo)/2 = (3 x 2)/2 = 3. 7. A área do triângulo BOP é igual a (BO x OP)/2 = (BC/2 x lado do quadrado)/2 = (BC x 3)/8. 8. A área do triângulo COQ é igual a (CO x OQ)/2 = (BC/2 x lado do quadrado)/2 = (BC x 3)/8. 9. Substituindo os valores encontrados na fórmula da área do triângulo ABC, temos: Área ABC = 3 + (BC x 3)/8 + (BC x 3)/8. 10. Simplificando a expressão, temos: Área ABC = 3 + (3/4)BC. 11. Como o triângulo é equilátero, temos que BC = AC, portanto, Área ABC = 3 + (3/4)AC. 12. Substituindo AC pelo lado do triângulo, temos: Área ABC = 3 + (3/4)lado do triângulo. 13. Como o triângulo é equilátero, temos que a altura é igual a (lado do triângulo x √3)/2. 14. Substituindo na fórmula da área do triângulo, temos: Área ABC = (lado do triângulo x (lado do triângulo x √3)/2)/2 = (lado do triângulo² x √3)/4. 15. Igualando as duas expressões encontradas para a área do triângulo ABC, temos: 3 + (3/4)lado do triângulo = (lado do triângulo² x √3)/4. 16. Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos duas soluções: lado do triângulo = 4√3 ou lado do triângulo = -3√3/2. 17. Como o lado do triângulo não pode ser negativo, a resposta correta é a letra A) 12.