Encontre a imagem da função f(x, y, z) = ex2+y2−z2. Para quais valores de k a superf́ıcie de ńıvel f(x, y, z) = k representa um cone, um hiperbo...

Para encontrar a imagem da função f(x, y, z) = ex²+y²−z², podemos observar que a função é composta pela soma de três termos, onde cada um deles depende de apenas uma variável. O primeiro termo é ex², que é sempre positivo e crescente à medida que x aumenta. O segundo termo é y², que também é sempre positivo e crescente à medida que y aumenta. O terceiro termo é -z², que é sempre negativo e decrescente à medida que z aumenta. Portanto, a imagem da função é o conjunto de todos os números reais positivos, ou seja, f(x, y, z) > 0 para todo (x, y, z) pertencente ao domínio da função. Para encontrar os valores de k que representam um cone, um hiperboloide de uma folha ou um hiperboloide de duas folhas, podemos analisar a equação da superfície de nível f(x, y, z) = k para cada caso: - Cone: a equação da superfície de um cone é dada por z² = x² + y². Substituindo essa equação na equação da superfície de nível, temos ex²+y²−(x²+y²) = k, ou seja, ex²−z² = k. Essa equação representa um cone se k for positivo. - Hiperboloide de uma folha: a equação da superfície de um hiperboloide de uma folha é dada por x² + y² - z² = 1. Substituindo essa equação na equação da superfície de nível, temos ex²+y²−z² = k + 1, ou seja, ex²+y² = k + z² + 1. Essa equação representa um hiperboloide de uma folha se k for maior do que -1. - Hiperboloide de duas folhas: a equação da superfície de um hiperboloide de duas folhas é dada por z² - x² - y² = 1. Substituindo essa equação na equação da superfície de nível, temos ex²+y²−(z²+1) = -k, ou seja, ex²+y² = z² - k - 1. Essa equação representa um hiperboloide de duas folhas se k for menor do que -1. Portanto, a superfície de nível f(x, y, z) = k representa um cone se k for positivo, um hiperboloide de uma folha se k for maior do que -1 e um hiperboloide de duas folhas se k for menor do que -1.