A integração é uma ferramenta poderosa em matemática e usada em muitos campos, como física, engenharia, economia e estatística. Tem aplicações no c...

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A integração é uma ferramenta poderosa em matemática e usada em muitos campos, como física, engenharia, economia e estatística. Tem aplicações no c...

A integração é uma ferramenta poderosa em matemática e usada em muitos campos, como física, engenharia, economia e estatística. Tem aplicações no cálculo de distâncias, nos volumes, no trabalho realizado e nas distribuições de probabilidade, entre outros. O processo de integração envolve encontrar uma função F(x) tal que F′(x) = f(x), em que F′(x) é a derivada de F(x). Isso é feito usando técnicas de integração, como substituição, integração por partes ou frações parciais. Com base no texto, assinale a alternativa que apresenta integral s e c left parenthesis x right parenthesis space t g left parenthesis x right parenthesis space d x. a. s e c left parenthesis x right parenthesis plus C b. t g squared left parenthesis x right parenthesis plus C c. s e n left parenthesis x right parenthesis plus C d. c o t g left parenthesis x right parenthesis plus C e. cos squared left parenthesis x right parenthesis space c o t g left parenthesis x right parenthesis plus C

Inovação Tecnológica

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Allan Pavan

14/11/2023

Ed · Answer

A resposta correta é d. cotg(x) + C.

A integral de sec(x) * tan(x) é igual a ln|sec(x) + tan(x)| + C. Utilizando a identidade trigonométrica 1 + cotg²(x) = csc²(x), podemos reescrever a integral como:

∫sec(x) * tan(x) dx = ∫(1/cos(x)) * (sen(x)/cos(x)) dx
= ∫sen(x)/cos²(x) dx
= -∫(1/cos²(x)) d(cos(x))
= -tg(x) + C

Portanto, a integral de c(x) * sec(x) é igual a:

∫c(x) * sec(x) dx = c(x) * ∫sec(x) dx - ∫c'(x) * (∫sec(x) dx) dx
= c(x) * ln|sec(x) + tg(x)| - ∫c'(x) * ln|sec(x) + tg(x)| dx

Substituindo c(x) = 1 e c'(x) = 0, temos:

∫sec(x) dx = ln|sec(x) + tg(x)| + C

Substituindo s e c(x) por 1/cos(x) e cos(x), respectivamente, temos:

∫s e c(x) dx = ∫(1/cos(x)) * cos(x) dx
= ∫sec(x) dx
= ln|sec(x) + tg(x)| + C

Portanto, a alternativa correta é d. cotg(x) + C.

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