(Unicamp) De quantas maneiras é possível distribuir 20 bolas iguais entre 3 crianças de modo que cada uma delas receba, pelo menos, 5 bolas? Supond...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Princípio da Adição e o Princípio da Multiplicação. Primeiro, vamos distribuir 5 bolas para cada criança, o que totaliza 15 bolas. Sobram 5 bolas para serem distribuídas entre as 3 crianças. Podemos utilizar o Princípio da Adição para calcular o número de maneiras de distribuir essas 5 bolas restantes. Podemos distribuir as 5 bolas restantes de 3 maneiras diferentes: - 3 bolas para uma criança e 1 bola para cada uma das outras duas crianças; - 2 bolas para uma criança e 2 bolas para outra criança, e 1 bola para a terceira criança; - 1 bola para cada uma das três crianças. Agora, vamos utilizar o Princípio da Multiplicação para calcular o número total de maneiras de distribuir as bolas. O número de maneiras de distribuir as primeiras 15 bolas é 1, já que todas as crianças recebem a mesma quantidade de bolas. O número de maneiras de distribuir as 5 bolas restantes é 3, como vimos anteriormente. Portanto, o número total de maneiras de distribuir as 20 bolas é 1 x 3 = 3. Para calcular a probabilidade de uma das crianças receber exatamente 9 bolas, podemos utilizar a distribuição binomial. O número de maneiras de escolher 9 bolas entre as 20 bolas é dado por C(20,9) = 167,960. A probabilidade de uma das crianças receber exatamente 9 bolas é dada por: P = (número de maneiras de escolher 9 bolas) x (probabilidade de cada uma dessas maneiras ocorrer) P = 167,960 x (1/3)^9 x (2/3)^11 P = 167,960 x 0,001371742 x 0,008789063 P = 1,140,136/3^20 A resposta mais próxima é a letra B) 1140 e 1/6.