Num teste educacional em crianças, o tempo para a realização de uma bateria de questões de racioćınio verbal e lógico é medido e registrado ...

(a) Para calcular a probabilidade de um teste que siga este modelo teórico durar entre 9 e 12 minutos, é necessário calcular a integral da função de densidade de probabilidade entre 9 e 12. Assim, temos: P(9 ≤ T ≤ 12) = ∫9^12 f(t) dt P(9 ≤ T ≤ 12) = ∫9^10 (1/40)(t-4) dt + ∫10^12 (3/20) dt P(9 ≤ T ≤ 12) = [(1/80)(t-4)^2]9^10 + (3/20)(t)10^12 P(9 ≤ T ≤ 12) = (1/80)(6)^2 + (3/20)(12-10) P(9 ≤ T ≤ 12) = 0,09 Portanto, a probabilidade de um teste que siga este modelo teórico durar entre 9 e 12 minutos é de 0,09. (b) Para calcular o tempo médio de duração de um teste de acordo com este modelo teórico, é necessário calcular a esperança da variável aleatória T. Assim, temos: E(T) = ∫-∞^∞ t f(t) dt E(T) = ∫8^10 t(1/40)(t-4) dt + ∫10^15 t(3/20) dt E(T) = (1/40)∫8^10 (t^2-4t) dt + (3/20)∫10^15 t dt E(T) = (1/40)[(1/3)t^3 - 2t^2]8^10 + (3/20)[(1/2)t^2]10^15 E(T) = (1/40)[(1/3)(10^3-8^3) - 2(10^2-8^2)] + (3/20)[(1/2)(15^2-10^2)] E(T) = 10,25 Portanto, o tempo médio de duração de um teste de acordo com este modelo teórico é de 10,25 minutos. (c) Para calcular a variância da variável aleatória T, é necessário calcular a integral de t^2f(t) entre -∞ e ∞ e subtrair o quadrado da esperança de T. Assim, temos: Var(T) = ∫-∞^∞ t^2 f(t) dt - E(T)^2 Var(T) = ∫8^10 t^2(1/40)(t-4) dt + ∫10^15 t^2(3/20) dt - 10,25^2 Var(T) = (1/40)∫8^10 (t^3-4t^2) dt + (3/20)∫10^15 t^2 dt - 10,25^2 Var(T) = (1/40)[(1/4)t^4 - (4/3)t^3]8^10 + (3/20)[(1/3)t^3]10^15 - 10,25^2 Var(T) = (1/40)[(1/4)(10^4-8^4) - (4/3)(10^3-8^3)] + (3/20)[(1/3)(15^3-10^3)] - 0,0625 Var(T) = 1,3225 Portanto, a variância da variável aleatória T é de 1,3225.