Considere X uma variável aleatória uniformemente distribúıda em (0, 1). Determine a média e variância das seguintes variáveis aleatórias: (a...

Para calcular a média e a variância das variáveis aleatórias Y = X² + 1 e Z = 1/(X + 1), podemos usar as seguintes fórmulas: - Média: E(Y) = integral de -infinito a +infinito de y*f(y)dy - Variância: Var(Y) = E(Y²) - [E(Y)]² Para a variável aleatória Y = X² + 1, temos: - Média: E(Y) = E(X² + 1) = E(X²) + E(1) = (1/3) + 1 = 4/3 - Variância: Var(Y) = E(Y²) - [E(Y)]² = E(X^4 + 2X² + 1) - (4/3)² = (1/5) + (2/3) - (16/9) = 8/45 Para a variável aleatória Z = 1/(X + 1), temos: - Média: E(Z) = E(1/(X + 1)) = integral de 0 a 1 de 1/(x+1) * 1 dx = ln(2) - Variância: Var(Z) = E(Z²) - [E(Z)]² = E(1/(X + 1)²) - ln²(2) = integral de 0 a 1 de 1/(x+1)² * 1 dx - ln²(2) = ln²(2) - 1 Portanto, a média e a variância das variáveis aleatórias Y e Z são: - E(Y) = 4/3 e Var(Y) = 8/45 - E(Z) = ln(2) e Var(Z) = ln²(2) - 1