Prove que um grafo é conexo se, e somente se, para toda partição dos vértices em dois conjuntos não vazios existe uma aresta com cada vértice...

Para provar que um grafo é conexo se, e somente se, para toda partição dos vértices em dois conjuntos não vazios existe uma aresta com cada vértice em cada conjunto, podemos seguir os seguintes passos: 1. Suponha que o grafo é conexo e que há uma partição dos vértices em dois conjuntos não vazios que não têm uma aresta com cada vértice em cada conjunto. Isso significa que não há caminho entre pelo menos um vértice em um conjunto e um vértice no outro conjunto, o que contradiz a suposição de que o grafo é conexo. 2. Agora, suponha que para toda partição dos vértices em dois conjuntos não vazios existe uma aresta com cada vértice em cada conjunto, mas o grafo não é conexo. Isso significa que há pelo menos dois vértices que não estão conectados por uma aresta. Podemos particionar os vértices em dois conjuntos, um contendo um desses vértices e o outro contendo todos os outros vértices. Mas, por hipótese, deve haver uma aresta com cada vértice em cada conjunto, o que contradiz a suposição de que não há aresta entre esses dois vértices. Portanto, concluímos que um grafo é conexo se, e somente se, para toda partição dos vértices em dois conjuntos não vazios existe uma aresta com cada vértice em cada conjunto.