25) Seja F (r, θ) = f(x, y) onde x = r cos θ e y = r sin θ, sendo f(x, y) uma função diferenciável dada. Verifique que ∂f/∂y (x, y) = cos θ (∂F/∂θ)...

Podemos começar usando a regra da cadeia para encontrar a derivada parcial de f em relação a y. Temos: ∂f/∂y = (∂f/∂x)(∂x/∂y) + (∂f/∂y)(∂y/∂y) Observe que ∂x/∂y = 0 e ∂y/∂y = 1. Então, podemos simplificar a expressão para: ∂f/∂y = (∂f/∂x)(0) + (∂f/∂y)(1) ∂f/∂y = ∂f/∂y Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de F em relação a r e θ. Temos: ∂F/∂r = (∂f/∂x)(∂x/∂r) + (∂f/∂y)(∂y/∂r) ∂F/∂r = (∂f/∂x)(cos θ) + (∂f/∂y)(sin θ) ∂F/∂θ = (∂f/∂x)(∂x/∂θ) + (∂f/∂y)(∂y/∂θ) ∂F/∂θ = (-∂f/∂x)(r sin θ) + (∂f/∂y)(r cos θ) Agora, podemos substituir essas expressões na equação original: ∂f/∂y = cos θ (∂F/∂θ) (r, θ) + sin θ (∂F/∂r) (r, θ) Substituindo as expressões que encontramos, temos: ∂f/∂y = cos θ [(-∂f/∂x)(r sin θ) + (∂f/∂y)(r cos θ)] + sin θ [(∂f/∂x)(cos θ) + (∂f/∂y)(sin θ)] Simplificando, temos: ∂f/∂y = -r sin² θ (∂f/∂x) + r cos θ sin θ (∂f/∂y) + r cos θ sin θ (∂f/∂x) + r sin² θ (∂f/∂y) Agrupando os termos, temos: ∂f/∂y = r cos θ sin θ (∂f/∂x) + r sin² θ (∂f/∂y) Portanto, podemos concluir que ∂f/∂y (x, y) = cos θ (∂F/∂θ) (r, θ) + sin θ (∂F/∂r) (r, θ).