Suponha que z = z(x, y) satisfaça a equação x^2∂2z/∂x^2 + 2xy∂2z/∂x∂y − x∂z/∂x = x^3y^2. Fazendo a mudança de variáveis x = eu e y = ev, calcule ∂2...

Fazendo a mudança de variáveis x = eu e y = ev, temos: ∂z/∂x = ∂z/∂u * ∂u/∂x + ∂z/∂v * ∂v/∂x = e * ∂z/∂u ∂2z/∂x^2 = e^2 * ∂2z/∂u^2 ∂z/∂y = ∂z/∂u * ∂u/∂y + ∂z/∂v * ∂v/∂y = e * ∂z/∂v ∂2z/∂x∂y = ∂2z/∂y∂x = e * ∂2z/∂u∂v Substituindo na equação original, temos: x^2∂2z/∂x^2 + 2xy∂2z/∂x∂y − x∂z/∂x = x^3y^2 (eu)^2 * e^2 * ∂2z/∂u^2 + 2(eu)(ev) * e * ∂2z/∂u∂v − (eu) * e * ∂z/∂u = (eu)^3 * (ev)^2 e^4u^2 * ∂2z/∂u^2 + 2e^2uv * e * ∂2z/∂u∂v - e^2u * e * ∂z/∂u = e^3u^3 * e^2v^2 e^4u^2 * ∂2z/∂u^2 + 2e^3uv * ∂2z/∂u∂v - e^3u * ∂z/∂u = e^5u^3v^2 Calculando as derivadas parciais de segunda ordem em relação a u, temos: ∂2z/∂u^2 = (e^-2u/e^4u^2) * [e^4u^2 * ∂2z/∂u^2 + 2e^3uv * ∂2z/∂u∂v - e^3u * ∂z/∂u - e^5u^3v^2] ∂2z/∂u∂v = (e^-2u/e^3uv) * [e^4u^2 * ∂2z/∂u∂v + e^3uv * ∂2z/∂v^2 - e^2v * ∂z/∂u - 2e^4u^2v] Substituindo na expressão ∂2z/∂u^2 + 2∂2z/∂u∂v - 2∂z/∂u, temos: (e^-2u/e^4u^2) * [e^4u^2 * ∂2z/∂u^2 + 2e^3uv * ∂2z/∂u∂v - e^3u * ∂z/∂u - e^5u^3v^2] + 2(e^-2u/e^3uv) * [e^4u^2 * ∂2z/∂u∂v + e^3uv * ∂2z/∂v^2 - e^2v * ∂z/∂u - 2e^4u^2v] - 2(e^-u/e^2u) * e^3u^2v^2 Simplificando, temos: (e^-2u/e^4u^2) * [e^4u^2 * ∂2z/∂u^2 + 4e^3uv * ∂2z/∂u∂v - 2e^4u^2v] - (e^-u/e^2u) * e^3u^2v^2 Que é a resposta para a expressão ∂2z/∂u^2 + 2∂2z/∂u∂v - 2∂z/∂u.