12. Determine todos os pontos (x0, y0) sobre a curva y = 4x4 − 8x2 + 16x + 7 tais que a tangente à curva em (x0, y0) seja paralela à reta 16x− y ...

Para que a tangente à curva y = 4x^4 − 8x^2 + 16x + 7 seja paralela à reta 16x − y + 5 = 0, é necessário que a inclinação da tangente seja igual à inclinação da reta. A inclinação da reta é 16, então precisamos encontrar os pontos em que a inclinação da curva é igual a 16. Para encontrar a inclinação da curva em um ponto (x0, y0), precisamos derivar a equação da curva em relação a x e avaliar a derivada no ponto (x0, y0). Então, temos: y = 4x^4 − 8x^2 + 16x + 7 y' = 16x^3 - 16x + 16 A inclinação da curva no ponto (x0, y0) é dada por y'(x0), então precisamos resolver a equação: 16x^3 - 16x + 16 = 16 Simplificando, temos: 4x^3 - 4x + 1 = 0 Podemos usar a regra de Ruffini para dividir o polinômio por x + 1 e obter: 4x^3 - 4x + 1 = (x + 1)(4x^2 - 4x + 1) As raízes do polinômio quadrático 4x^2 - 4x + 1 são: x = (4 ± √12) / 8 Portanto, as raízes do polinômio cúbico são: x = -1, (4 + √12) / 8, (4 - √12) / 8 Agora podemos encontrar as coordenadas y correspondentes a cada valor de x: Para x = -1: y = 4(-1)^4 - 8(-1)^2 + 16(-1) + 7 = -13 Para x = (4 + √12) / 8: y = 4((4 + √12) / 8)^4 - 8((4 + √12) / 8)^2 + 16((4 + √12) / 8) + 7 = 16(4 + √12) / 8 + 3 = 2 + √3 Para x = (4 - √12) / 8: y = 4((4 - √12) / 8)^4 - 8((4 - √12) / 8)^2 + 16((4 - √12) / 8) + 7 = 16(4 - √12) / 8 + 3 = 2 - √3 Portanto, os pontos são (-1, -13), ( (4 + √12) / 8, 2 + √3) e ( (4 - √12) / 8, 2 - √3). Além disso, a inclinação da tangente em cada um desses pontos é 16, como esperado.