15. Seja f (x) = |x3|. Calcule f ′′(x), para todo x ∈ R. A função f ′′ é derivável no ponto x0 = 0 ? Justifique. Resp.: Não .

Para calcular a segunda derivada de f(x), precisamos primeiro encontrar a primeira derivada de f(x). Como f(x) é uma função composta, precisamos usar a regra da cadeia para derivá-la: f(x) = |x³| f'(x) = 3x² * (x³/|x³|) = 3x |x| Agora, podemos encontrar a segunda derivada de f(x) usando a regra do produto: f''(x) = (3 |x| + 3x * d/dx(|x|)) = 3 |x| + 6x * (x/|x³|) = 3 + 3x²/|x| Para verificar se f''(0) existe, precisamos verificar se o limite de f''(x) quando x se aproxima de 0 existe. Podemos fazer isso encontrando os limites laterais de f''(x) quando x se aproxima de 0: lim x→0⁻ f''(x) = lim x→0⁻ (3 + 3x²/|x|) = -∞ lim x→0⁺ f''(x) = lim x→0⁺ (3 + 3x²/|x|) = +∞ Como os limites laterais são diferentes, o limite de f''(x) quando x se aproxima de 0 não existe. Portanto, f''(x) não é derivável no ponto x0 = 0.