Sejam u, v e w vetores não nulos. Demonstre que a projeção de u+ w em v é igual a projeção de u em v mais a projeção de w em v. Faça o esboço!?

Para demonstrar que a projeção de u + w em v é igual à projeção de u em v mais a projeção de w em v, podemos usar a definição de projeção ortogonal. Seja projv(x) a projeção ortogonal do vetor x em v. Então, a projeção de u + w em v é dada por: projv(u + w) = ((u + w) . v / ||v||^2) * v onde . representa o produto escalar e ||v|| é a norma de v. Podemos expandir a expressão acima usando a propriedade distributiva do produto escalar: projv(u + w) = ((u . v + w . v) / ||v||^2) * v Agora, podemos usar a definição de projeção ortogonal novamente para escrever a projeção de u e w em v: projv(u) = (u . v / ||v||^2) * v projv(w) = (w . v / ||v||^2) * v Substituindo essas expressões na equação anterior, temos: projv(u + w) = ((u . v + w . v) / ||v||^2) * v = ((u . v / ||v||^2) * v) + ((w . v / ||v||^2) * v) = projv(u) + projv(w) Portanto, a projeção de u + w em v é igual à projeção de u em v mais a projeção de w em v. Esboço: Para esboçar, podemos imaginar que u, v e w são vetores no plano xy. A projeção de u em v é a sombra de u na direção de v, a projeção de w em v é a sombra de w na direção de v e a projeção de u + w em v é a sombra de u + w na direção de v. Podemos desenhar essas sombras e verificar que a soma das projeções de u e w é igual à projeção de u + w.