1. Mostre que N! = ∫∞0 xNe−Ndx. (1) Dica: use uma sequência de integrações por parte. É uma questão de Física Estatística. A questão envolve cá...

Para resolver essa questão, podemos utilizar integração por partes. Primeiro, vamos escrever a integral na forma: ∫∞0 xNe−Ndx = N ∫∞0 xN−1e−Ndx Agora, vamos escolher u = xN−1 e dv = e−Ndx. Então, temos du/dx = (N−1)xN−2 e v = −e−Nx/N. Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: ∫∞0 xNe−Ndx = N [−xN−1e−Nx/N]∞0 + N(N−1) ∫∞0 xN−2e−Ndx Observe que o primeiro termo da equação acima é zero, pois e−∞ = 0. Então, temos: ∫∞0 xNe−Ndx = N(N−1) ∫∞0 xN−2e−Ndx Podemos repetir o processo de integração por partes, escolhendo agora u = xN−2 e dv = e−Ndx. Então, temos du/dx = (N−2)xN−3 e v = −e−Nx/N. Aplicando a fórmula de integração por partes novamente, temos: ∫∞0 xNe−Ndx = N(N−1) [−xN−2e−Nx/N]∞0 + N(N−1)(N−2) ∫∞0 xN−3e−Ndx Novamente, o primeiro termo é zero, e temos: ∫∞0 xNe−Ndx = N(N−1)(N−2) ∫∞0 xN−3e−Ndx Podemos repetir esse processo até chegarmos a: ∫∞0 xNe−Ndx = N! Substituindo na equação original, temos: N! = ∫∞0 xNe−Ndx Portanto, mostramos que N! = ∫∞0 xNe−Ndx usando integração por partes.