Considere a matriz A = 0 1 7 8 1 3 3 8 −2 −5 1 −6 −1 −2 3 −7 . (a) Encontre matrizes elementares E1, E2, · · · , Ek tais que A = E1E2 ...
0 1 7 8
1 3 3 8
−2 −5 1 −6
−1 −2 3 −7
.
(a) Encontre matrizes elementares E1, E2, · · · , Ek tais que A = E1E2 · · ·EkT , onde T é uma matriz triangular.
(b) Calcule det(T ).
(c) Calcule det(E1E2 · · ·Ek).
(d) Calcule det(A).
É possível encontrar matrizes elementares E1, E2, · · · , Ek tais que A = E1E2 · · ·EkT , onde T é uma matriz triangular.
É possível calcular det(T).
É possível calcular det(E1E2 · · ·Ek).
É possível calcular det(A).
💡 1 Resposta
Ed 
(a) Para encontrar as matrizes elementares E1, E2, ..., Ek, podemos usar o método de eliminação de Gauss para transformar a matriz A em uma matriz triangular superior. As operações elementares que usamos para transformar A em uma matriz triangular superior são as mesmas operações que usamos para construir as matrizes elementares E1, E2, ..., Ek. Portanto, temos: A = [ 0 1 7 8 ] [ 1 3 3 8 ] [-2 -5 1 -6 ] [-1 -2 3 -7 ] E1 = [ 1 0 0 0 ] [-1 1 0 0 ] [ 2 0 1 0 ] [ 1 0 0 1 ] E1A = [ 0 1 7 8 ] [ 1 4 10 16 ] [ 0 5 15 10 ] [ 0 1 10 1 ] E2 = [ 1 0 0 0 ] [ 0 1 0 0 ] [ 0 -5 1 0 ] [ 0 -1 0 1 ] E2E1A = [ 0 1 7 8 ] [ 1 4 10 16 ] [ 0 0 -5 -40 ] [ 0 0 3 -7 ] E3 = [ 1 0 0 0 ] [ 0 1 0 0 ] [ 0 0 1 0 ] [ 0 0 -3 1 ] E3E2E1A = [ 0 1 7 8 ] [ 1 4 10 16 ] [ 0 0 -5 -40 ] [ 0 0 0 -19 ] T = E3E2E1A Portanto, temos que A = E1E2E3T, onde T é uma matriz triangular superior. (b) Para calcular det(T), basta multiplicar os elementos da diagonal principal de T. Temos: det(T) = 1 * 1 * (-5) * (-19) = 95 (c) Para calcular det(E1E2...Ek), basta multiplicar os determinantes das matrizes elementares E1, E2, ..., Ek. Como cada matriz elementar é uma matriz triangular com 1's na diagonal principal, temos: det(E1E2...Ek) = det(E1) * det(E2) * ... * det(Ek) = 1 * 1 * ... * 1 = 1 (d) Para calcular det(A), podemos usar a fórmula de Laplace ou a fórmula de cofatores. Ambas as fórmulas são um pouco trabalhosas de aplicar, mas o resultado é o mesmo. Temos: det(A) = -1 * (-1)^(1+2) * det([1 7 8; -5 1 -6; -2 3 -7]) + 2 * (-1)^(1+3) * det([1 3 8; -5 1 -6; -2 3 -7]) - 1 * (-1)^(1+4) * det([1 3 8; -5 1 -6; -2 -5 1]) + 0 * (-1)^(2+1) * det([0 7 8; -2 1 -6; -1 3 -7]) - 0 * (-1)^(2+2) * det([0 1 8; -2 -5 -6; -1 -2 -7]) + 0 * (-1)^(2+3) * det([0 1 7; -2 -5 1; -1 -2 3]) + 0 * (-1)^(3+1) * det([0 1 7; 1 3 8; -1 -2 3]) - 0 * (-1)^(3+2) * det([0 0 8; 1 1 -6; -1 3 -7]) + 0 * (-1)^(3+3) * det([0 0 1; 1 3 8; -1 -2 3]) + 0 * (-1)^(4+1) * det([0 1 3; 1 3 3; -1 -2 3]) - 0 * (-1)^(4+2) * det([0 1 0; 1 3 0; -1 -2 1]) + 0 * (-1)^(4+3) * det([0 1 0; 1 3 3; -1 -2 3]) Depois de calcular os determinantes das submatrizes, temos: det(A) = -19 Portanto, det(A) = -19.
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