Prove a desigualdade cosx > 1− x^2/2, x 6= 0. (Sugestão: prove para x > 0 e depois use o fato de que as funções de ambos os lados são pares)

Para provar a desigualdade cosx > 1− x^2/2, x 6= 0, primeiro vamos considerar x > 0. Podemos usar a série de Taylor para o cosseno: cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ... Para x > 0, todos os termos da série são positivos. Então, podemos truncar a série após o primeiro termo e obter: cos(x) > 1 - x^2/2 Substituindo x por -x, temos: cos(-x) > 1 - (-x)^2/2 cos(x) > 1 - x^2/2 Portanto, para todos os valores de x diferentes de zero, temos: cos(x) > 1 - x^2/2 Além disso, tanto a função cosseno quanto a função 1 - x^2/2 são funções pares, o que significa que a desigualdade também é válida para x < 0. Assim, provamos que cosx > 1− x^2/2, x 6= 0.