Faça um esboço do gráfico de y = x^4 − 4x^3 determinando os intervalos de crescimento e de decrescimento, concavidade, os pontos de inflexão e ...

Para fazer o esboço do gráfico de y = x^4 - 4x^3, podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar os pontos críticos da função, ou seja, onde a derivada é igual a zero ou não existe. y' = 4x^3 - 12x^2 4x^3 - 12x^2 = 0 4x^2(x - 3) = 0 x = 0, x = 3 2. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Podemos usar a tabela de sinais da derivada para isso: x | y' --+--- -∞| - 0 | 0 3 | 0 +∞| + Assim, temos que a função é crescente no intervalo (-∞, 0) e decrescente no intervalo (0, 3), e crescente novamente no intervalo (3, +∞). 3. Encontrar os pontos de máximo e mínimo da função. Podemos usar a segunda derivada para isso: y'' = 12x^2 - 24x y''(0) = 0, y''(3) = 18 Assim, temos que o ponto crítico x = 0 é um ponto de mínimo local e o ponto crítico x = 3 é um ponto de mínimo local. 4. Determinar a concavidade da função. Podemos usar a segunda derivada para isso: x | y'' --+---- -∞| + 0 | 0 3 | + +∞| + Assim, temos que a função é côncava para cima no intervalo (-∞, 0) e côncava para baixo no intervalo (0, 3), e côncava para cima novamente no intervalo (3, +∞). 5. Encontrar os pontos de inflexão da função. Podemos igualar a segunda derivada a zero para encontrar os pontos de inflexão: 12x^2 - 24x = 0 12x(x - 2) = 0 x = 0, x = 2 Assim, temos que os pontos de inflexão da função são x = 0 e x = 2. Com essas informações, podemos fazer o esboço do gráfico da função: - A função tem um ponto de mínimo local em x = 0 e um ponto de mínimo local em x = 3. - A função é côncava para cima no intervalo (-∞, 0) e côncava para baixo no intervalo (0, 3), e côncava para cima novamente no intervalo (3, +∞). - A função tem pontos de inflexão em x = 0 e x = 2. O esboço do gráfico da função é semelhante a uma parábola com concavidade para cima no intervalo (-∞, 0), um ponto de mínimo local em x = 0, uma inflexão em x = 2, um ponto de mínimo local em x = 3 e concavidade para baixo no intervalo (0, 3), e concavidade para cima novamente no intervalo (3, +∞).