URCA/2017.2   ­  Determine o menor inteiro positivo N com   a   seguinte propriedade: N deixa   resto 3 quando   dividido   por 5 e,   deixa   rest...

Para encontrar o menor inteiro positivo N que deixa resto 3 quando dividido por 5 e deixa resto maior possível na divisão por 7, podemos utilizar o método de congruência. Sabemos que N ≡ 3 (mod 5) e N ≡ x (mod 7), onde x é o resto maior possível na divisão por 7. Para encontrar x, podemos testar os restos possíveis na divisão por 7: 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Se N ≡ 0 (mod 7), então N = 7k, onde k é um inteiro. Mas isso implica que N é divisível por 7 e, portanto, não pode deixar resto 3 quando dividido por 5. Se N ≡ 1 (mod 7), então N = 7k + 1, onde k é um inteiro. Testando alguns valores de k, encontramos que k = 8 é a solução, pois N = 57 satisfaz as duas condições. Se N ≡ 2 (mod 7), então N = 7k + 2, onde k é um inteiro. Testando alguns valores de k, encontramos que k = 5 é a solução, pois N = 37 satisfaz as duas condições. Se N ≡ 3 (mod 7), então N = 7k + 3, onde k é um inteiro. Testando alguns valores de k, encontramos que k = 1 é a solução, pois N = 10 satisfaz as duas condições. Se N ≡ 4 (mod 7), então N = 7k + 4, onde k é um inteiro. Testando alguns valores de k, encontramos que k = 2 é a solução, pois N = 18 satisfaz as duas condições. Se N ≡ 5 (mod 7), então N = 7k + 5, onde k é um inteiro. Testando alguns valores de k, encontramos que k = 6 é a solução, pois N = 48 satisfaz as duas condições. Se N ≡ 6 (mod 7), então N = 7k + 6, onde k é um inteiro. Testando alguns valores de k, encontramos que k = 3 é a solução, pois N = 31 satisfaz as duas condições. Portanto, o menor inteiro positivo N que satisfaz as duas condições é o número 10, que deixa resto 3 quando dividido por 5 e deixa resto 3 na divisão por 7. A alternativa correta é a letra C).