30. URCA/2015.1 Sabendo que sen^2(x)−3sen(x)cos(x)=2, então podemos afirmar que o valor de tg(x) é: A) −√3 ou √3 B) −3 ou −2 C) 3 ou 2 D) 2 ou 1...

Podemos resolver essa questão utilizando identidades trigonométricas. Primeiro, vamos reescrever a equação dada: sen²(x) - 3sen(x)cos(x) = 2 Podemos utilizar a identidade sen(2x) = 2sen(x)cos(x) para reescrever o segundo termo: sen²(x) - (sen(2x) + sen(x)²) = 2 Agora, vamos simplificar a equação: sen(x)² - sen(2x) = 2 Podemos utilizar a identidade tg(x) = sen(x)/cos(x) para encontrar o valor de tg(x): tg(x) = sen(x)/cos(x) tg(x)² = sen²(x)/cos²(x) tg(x)² = (1 - cos²(x))/cos²(x) tg(x)² = 1/cos²(x) - 1 tg(x)² = sec²(x) - 1 tg(x)² = csc²(x) Agora, vamos substituir a identidade csc²(x) = 1/sen²(x) na equação anterior: tg(x)² = 1/sen²(x) tg(x) = ±1/sen(x) Podemos substituir a identidade sen²(x) = 1 - cos²(x) na equação original: 1 - cos²(x) - 3sen(x)cos(x) = 2 cos²(x) + 3sen(x)cos(x) - 3 = 0 Podemos utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de cos(x): cos(x) = [-3 ± √(3² - 4.1.(-3))]/(2.1) cos(x) = [-3 ± √21]/2 Agora, podemos encontrar os valores de sen(x) utilizando a identidade sen²(x) + cos²(x) = 1: sen²(x) = 1 - cos²(x) sen²(x) = 1 - [-3 ± √21]/2 sen²(x) = [5 ± √21]/2 Agora, podemos encontrar os valores de tg(x): tg(x) = ±1/√[5 ± √21] Portanto, a alternativa correta é a letra A) -√3 ou √3.