(UEPB/2006) A distância entre o ponto P(3, 5) e a reta r, de equação x + 2y – 8 = 0, é igual a: I- Encontrar a equação da reta perpendicular a r q...

Para encontrar a distância entre o ponto P(3,5) e a reta r, podemos seguir os seguintes passos: I- A equação da reta r é x + 2y - 8 = 0. Para encontrar a equação da reta perpendicular a r que passa por P, precisamos primeiro encontrar o coeficiente angular da reta r. Podemos reescrever a equação da reta r como y = (-1/2)x + 4. O coeficiente angular é -1/2, então o coeficiente angular da reta perpendicular é 2 (oposto e recíproco). A equação da reta perpendicular é y - 5 = 2(x - 3), ou seja, y = 2x - 1. II- Para encontrar o ponto de interseção entre a reta perpendicular a r e a reta r, podemos resolver o sistema formado pelas duas equações. Substituindo y na equação da reta r, temos x + 2((-1/2)x + 4) - 8 = 0, o que resulta em x = 6. Substituindo x na equação da reta perpendicular, temos y = 2(6) - 1, o que resulta em y = 11. Portanto, o ponto de interseção é (6,11). III- A distância entre o ponto P e o ponto encontrado em II é dada pela fórmula d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²). Substituindo os valores, temos d = √((6 - 3)² + (11 - 5)²), o que resulta em d = √(9 + 36), ou seja, d = √45. Simplificando, temos d = 3√5. Portanto, a alternativa correta é a letra d) 3.