1ª. Questão [2,5 pontos] Considere a função (a) [0,5 ponto] Determine as possíveis raízes racionais de (b) [1,0 ponto] Encontre a fatoração de sabe...

(a) Para determinar as possíveis raízes racionais da função, podemos utilizar o Teorema de Gauss, que afirma que se uma função polinomial tem coeficientes inteiros, então todas as suas raízes racionais são da forma p/q, onde p é um divisor do termo independente e q é um divisor do coeficiente do termo de maior grau. No caso da função dada, o termo independente é 6 e o coeficiente do termo de maior grau é 1, portanto as possíveis raízes racionais são ±1, ±2, ±3 e ±6. (b) Sabemos que é raiz de , portanto podemos utilizar a divisão polinomial para encontrar o quociente e o resto da divisão de por . Fazendo a divisão, obtemos: ``` x² - 2x - 3 x - 1 | x³ + 2x² - 5x - 6 - x³ + x² ---------- 3x² - 5x 3x² - 3x -------- -2x - 6 ``` Portanto, temos que: x³ + 2x² - 5x - 6 = (x - 1)(x² - 2x - 3) Para encontrar a fatoração de sabendo que divide , podemos utilizar o Teorema do Resto, que afirma que se um polinômio P(x) é divisível por (x - a), então P(a) = 0. Como sabemos que é raiz de , temos que: ( - 2)³ + 2( - 2)² - 5( - 2) - 6 = 0 -8 + 8 + 10 - 6 = 4 Portanto, podemos escrever: x³ + 2x² - 5x - 6 = (x + 2)(x² - 4x + 3) (c) Para encontrar o domínio de , precisamos encontrar os valores de x para os quais a função está definida. Como a função é uma fração polinomial, ela está definida para todos os valores de x que não anulam o denominador. Portanto, precisamos encontrar os valores de x para os quais: x² - 4x + 3 ≠ 0 Podemos resolver essa equação do segundo grau utilizando a fórmula de Bhaskara: Δ = (-4)² - 4(1)(3) = 4 x = (4 ± √4)/2 = 2 ± 1 Portanto, os valores de x para os quais a função está definida são x ≠ 1 e x ≠ 3. Podemos escrever o domínio da função em notação de união de intervalos disjuntos da seguinte forma: Domínio de : (-∞, 1) ∪ (1, 3) ∪ (3, +∞)