Analise o sinal de ????(????) = ????(????)/????(????) na variável ???? ∈ ℝ e determine o domínio da função ????(????) = √????(????)/????(????). Considere ????(????) = 3????3 − 2????...

Para analisar o sinal de ????((????)) = ????((????))/????((????)) na variável ???? ∈ ℝ, precisamos encontrar os valores de ???? que tornam a função positiva, negativa ou nula. Para isso, podemos utilizar a tabela de sinais: | ????((????)) | ????((????)) | ????((????)) | |:----------------:|:----------------:|:----------------:| | ???? | ???? | ???? | | + | - | + | | - | - | + | | + | + | + | Assim, podemos concluir que a função ????((????)) = ????((????))/????((????)) é positiva para ???? ∈ (−∞, 0) ∪ (2, ∞) e negativa para ???? ∈ (0, 2). Para determinar o domínio da função ????((????)) = √????((????))/????((????)), precisamos garantir que o radicando seja não negativo, ou seja, que √????((????)) ≥ 0 e que o denominador seja diferente de zero, ou seja, que ????((????)) ≠ 0. Assim, temos que o domínio da função é dado por: {???? ∈ ℝ | ????((????)) ≥ 0 e ????((????)) ≠ 0} Substituindo as expressões dadas para ????((????)) e ????((????)) na função, temos: ????((????)) = 3????3 − 2????2 − 13???? − 8 ????((????)) = −????2 + 3???? − 4 Assim, podemos escrever o domínio da função como: {???? ∈ ℝ | 3????3 − 2????2 − 13???? − 8 ≥ 0 e −????2 + 3???? − 4 ≠ 0} Para encontrar os valores de ???? que satisfazem essa condição, podemos utilizar a técnica de análise de sinais. Encontramos que a função 3????3 − 2????2 − 13???? − 8 é positiva para ???? ∈ (−∞, −1) ∪ (2, ∞) e negativa para ???? ∈ (−1, 2). Já a função −????2 + 3???? − 4 é negativa para ???? ∈ (−∞, 1) ∪ (3, ∞) e positiva para ???? ∈ (1, 3). Assim, o domínio da função é dado por: {???? ∈ ℝ | 3????3 − 2????2 − 13???? − 8 ≥ 0 e −????2 + 3???? − 4 ≠ 0} = (−∞, −1) ∪ (1, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3, ∞)